ルジャンドル多項式の定義と性質（1/3）

自然科学

2020.11.08 2020.04.11

定義
性質
証明

定義

$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n,\quad(n=0,1,2,...)\tag{1}$$

で定義された関数 $P_{n}(x)$ を、ルジャンドル（Legendre）多項式という。
また、ルジャンドル多項式は、以下のテイラー級数

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n\tag{2}$$

の係数として定義することもできる。

性質

ルジャンドル多項式は、以下の基本的な性質を持つ。

以下の漸化式が $n\geq1$ に対して成り立つ。
$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x)\tag{3}$$
$$P_{n}(-x)=(-1)^n P_{n}(x)$$
$$P_{n}(1)=1,\quad P_{n}(-1)=(-1)^n$$
$P_{n}(x)=0$ は相異なる $n$ 個の実数解を開区間 $(-1, 1)$ 内に持つ。
$$\int_{-1}^{1}x^k P_{n}(x)d x = 0 \quad (n\geq1,\quad k=0,1,2,...,n-1)$$
高々 $n-1$ 次の多項式 $Q(x)$ に対して、
$$\int_{-1}^{1}Q(x)P_{n}(x)d x = 0$$

証明

性質 1.

定義式 $(2)$ の両辺を $t$ で微分して、

$$\frac{d}{d t}\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\frac{d}{dt}\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n$$
$$-\frac{1}{2}(-2x+2t)(1-2xt+t^2)^{-\frac{3}{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}n P_{n}(x)t^{n-1}$$
$$(x-t)\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}= (1-2xt+t^2) \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)P_{n+1}(x)t^{n}$$

ここで、根号を定義式$(2)$により置き換えると、

$$(x-t) \sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n = (1-2xt+t^2) \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)P_{n+1}(x)t^{n}$$

が得られる。
この式の両辺において、$t^n$ の係数について比較すると、

左辺では

$$x P_{n}(x)-P_{n-1}(x)$$

右辺では

$$(n+1)P_{n+1}(x)-2xn P_{n}(x)+(n-1)P_{n-1}(x)$$

より、

$$x P_{n}(x)-P_{n-1}(x)=(n+1)P_{n+1}(x)-2xn P_{n}(x)+(n-1)P_{n-1}(x)$$
$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x)$$

が得られる。
この $P_{n}(x)$ に関する漸化式は、ボネの漸化式と呼ばれる。

性質 2.

定義式 $(1)$ において、$(x^2-1)^n$ を二項定理を用いて展開すると $x$ の $2n$ 次の多項式になり、かつ、$x$ の偶数乗の項のみから成り立っている。
これを $n$ 回微分すると、$x$ の $n$ 次の多項式となり、かつ、各項の次数は $2$ ずつ下がっていく。
すなわち、$P_{n}(x)$ は $n$ が偶数の時には偶関数、$n$ が奇数の時には奇関数となる。これは性質 2. と同義である。