定積分を微分する公式とその証明

関数の定積分を微分する、という計算の公式を紹介し、その証明を行います。積分区間の上下が微分する変数xに依存する関数である場合、公式はやや複雑ですが、一方のみがxに依存する場合は非常にシンプルになります。

この公式を理解することで、積分と微分を相殺して、計算を楽に実行できるようになります。

公式

\(f(t)\) を \(t\) に関する１変数関数、 \(p(x), q(x)\) をそれぞれ \(x\) に関する１変数関数とすると

$$\frac{d}{dx}\int_{p(x)}^{q(x)}f(t)dt=f(q(x))q'(x)-f(p(x))p'(x)\tag{1}$$

この特殊な場合として、 \(a\) を \(x\) に依存しない定数とすると

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\tag{2}$$

証明

特殊な例の証明（式（２））

先に特殊な場合の式 \((2)\) から証明します。

定積分は、 \(f(x)\) の原始関数の１つを \(F(x)\) とおく（つまり、 \(F'(x)=f(x)\) とする）と

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\tag{3}$$

で定義されます。これにしたがって式 \((2)\) の左辺を変形すると

$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=\frac{d}{dt}(F(x)-F(a))=f(x)\tag{2}$$

が証明されました。

一般的な場合の証明（式（１））

同様に、定義式 \((3)\) に基づいて式 \((1)\) の左辺を変形します。

$$\frac{d}{dx}\int_{p(x)}^{q(x)}f(t)dt=\frac{d}{dx}(F(q(x))-F(p(x)))$$

原始関数の中身も \(x\) の関数になっているので、合成関数の微分公式

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

を用いると

$$\frac{d}{dx}\int_{p(x)}^{q(x)}f(t)dt=f(q(x))q'(x)-f(p(x))p'(x)\tag{1}$$

が得られます。