ルジャンドル多項式の定義と性質(2/3)

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定義

$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n,\quad(n=0,1,2,…)\tag{1}$$

で定義された関数 \(P_{n}(x)\) を、ルジャンドル(Legendre)多項式という。
また、ルジャンドル多項式は、以下のテイラー級数

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n\tag{2}$$

の係数として定義することもできる。

性質

ルジャンドル多項式は、以下の基本的な性質を持つ。

  1. 以下の漸化式が \(n\geq1\) に対して成り立つ。
    $$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x)\tag{3}$$
  2. $$P_{n}(-x)=(-1)^n P_{n}(x)$$
  3. $$P_{n}(1)=1,\quad P_{n}(-1)=(-1)^n$$
  4. \(P_{n}(x)=0\) は相異なる \(n\) 個の実数解を開区間 \((-1, 1)\) 内に持つ。
  5. $$\int_{-1}^{1}x^k P_{n}(x)d x = 0 \quad (n\geq1,\quad k=0,1,2,…,n-1)$$
  6. 高々 \(n-1\) 次の多項式 \(Q(x)\) に対して、
    $$\int_{-1}^{1}Q(x)P_{n}(x)d x = 0$$

証明

性質 1., 2., 3.

性質 4.

ロル(Rolle)の定理を用いる。

有界閉区間 \([a, b]\) 上で定義された連続関数 \(f(x)\) が開区間 \((a, b)\) で微分可能であり、

$$f(a)=f(b)$$

を満たすとき、

$$f^{\prime}(c)=0$$

となる \(c\in(a,b)\) が存在する。

Rolle の定理

まず、

$$f(x)=(x^2-1)^{n}=(x-1)^{n}(x+1)^{n}$$

とおき、これを \(g(x)=(x-1)^{n}\) と \(h(x)=(x+1)^{n}\) の合成関数と見ると、\(g(\pm 1)=h(\pm 1)=0\) であるから、ライプニッツ(Leibniz)の公式

$$(g(x)h(x))^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{}_n \mathrm{ C }_k g^{(n)}(x) h^{(n-k)}(x)$$

を順次導関数に適用することによって、\(1\leq k\leq n-1\) において常に

$$f^{(k)}(\pm 1)=0$$

が成り立つ。
また、\(f(x)\) は偶関数であり、開区間 \((-1, 1)\) で \(0\) にならない。

したがって、Rolleの定理より

$$f^{(1)}(a_{1}^{(1)})=0$$

を満たす \(a_{1}^{(1)},\quad(-1<a_{1}^{(1)}<1)\) が存在する。

したがって、\(f^{(1)}(-1)=f^{(1)}(a_{1}^{(1)})=f^{(1)}(1)=0\) であるから、\((-1, a_{1}^{(1)}), (a_{1}^{(1)}, 1)\) にRolleの定理をそれぞれ適用して、

$$f^{(2)}(a_{1}^{(2)})=f^{(2)}(a_{2}^{(2)})=0$$

を満たす \(a_{1}^{(2)}, a_{2}^{(2)}\quad(-1<a_{1}^{(2)}<(a_{1}^{(1)})<a_{2}^{(2)}<1)\) が存在することがわかる。

以上の手順を繰り返すと、定義式\((1)\)においては

$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n=0$$
$$\frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n=0$$

を満たす相異なる \(n\) 個の解 \(a_{1}^{(n)}, a_{2}^{(n)}, …, a_{n}^{(n)}\) が開区間 (\(-1, 1)\) に存在することが示される。

性質 5., 6.

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投稿者: 大野 駿太郎

神経科学を研究している博士学生。Python, Rust, C/C++, C#, Julia, Common Lisp, Unityを活用して、世界の様々な現象をシミュレート・分析しています。理系分野だけでなく、政治学や社会学も、もちろん分析対象です。

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