ルジャンドル多項式の定義と性質 – 実数解の存在証明

定義

$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n,\quad(n=0,1,2,...)\tag{1}$$

で定義された関数 $P_{n}(x)$ を、ルジャンドル（Legendre）多項式といいます。

また、ルジャンドル多項式は、テイラー級数

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n\tag{2}$$

の係数として定義することもできます。

この記事では、ルジャンドル多項式が以下の性質をもつことについて証明します。

$P_{n}(x)=0$ は相異なる $n$ 個の実数解を開区間 $(-1, 1)$ 内に持つ。

ロル（Rolle）の定理を使用します。

【Rolle の定理】
有界閉区間 $[a, b]$ 上で定義された連続関数 $f(x)$ が開区間 $(a, b)$ で微分可能であり、
$$f(a)=f(b)$$
を満たすとき、
$$f^{\prime}(c)=0$$
となる $c\in(a,b)$ が存在する。

まず、

$$f(x)=(x^2-1)^{n}=(x-1)^{n}(x+1)^{n}$$

とおき、これを $g(x)=(x-1)^{n}$ と $h(x)=(x+1)^{n}$ の合成関数と見ることにします。

ここで、 $g(\pm 1)=h(\pm 1)=0$ なので、ライプニッツ（Leibniz）の公式

$$(g(x)h(x))^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{}_n \mathrm{C}_k g^{(n)}(x) h^{(n-k)}(x)$$

を順次、導関数に適用することができ、

$1\leq k\leq n-1$ において常に

$$f^{(k)}(\pm 1)=0$$

が成り立つことがわかります。

また、 $f(x)$ は偶関数であり、開区間 $(-1, 1)$ で $0$ になりません。

したがって、Rolleの定理より

$$f^{(1)}(a_{1}^{(1)})=0$$

を満たす $a_{1}^{(1)},\quad(-1 < a_{1}^{(1)} < 1)$ が存在します。

したがって、 $f^{(1)}(-1)=f^{(1)}(a_{1}^{(1)})=f^{(1)}(1)=0$ であるため、

$(-1, a_{1}^{(1)}), (a_{1}^{(1)}, 1)$ にRolleの定理をそれぞれ適用して、

$$f^{(2)}(a_{1}^{(2)})=f^{(2)}(a_{2}^{(2)})=0$$

を満たす $a_{1}^{(2)}, a_{2}^{(2)}\quad(-1 < a_{1}^{(2)} < (a_{1}^{(1)}) < a_{2}^{(2)} < 1)$ が存在することがわかります。

以上の手順を繰り返すと、定義式 $(1)$ においては

$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n=0$$

$$\frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n=0$$

を満たす相異なる $n$ 個の解 $a_{1}^{(n)}, a_{2}^{(n)}, ..., a_{n}^{(n)}$ が開区間 $(-1, 1)$ に存在することが示されます。