定義
$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n,\quad(n=0,1,2,...)\tag{1}$$
で定義された関数 \(P_{n}(x)\) を、ルジャンドル（Legendre）多項式という。
また、ルジャンドル多項式は、以下のテイラー級数
$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n\tag{2}$$
の係数として定義することもできる。
性質
ルジャンドル多項式は、以下の基本的な性質を持つ。
- 以下の漸化式が \(n\geq1\) に対して成り立つ。
$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x)\tag{3}$$ - $$P_{n}(-x)=(-1)^n P_{n}(x)$$
- $$P_{n}(1)=1,\quad P_{n}(-1)=(-1)^n$$
- \(P_{n}(x)=0\) は相異なる \(n\) 個の実数解を開区間 \((-1, 1)\) 内に持つ。
- $$\int_{-1}^{1}x^k P_{n}(x)d x = 0 \quad (n\geq1,\quad k=0,1,2,...,n-1)$$
- 高々 \(n-1\) 次の多項式 \(Q(x)\) に対して、
$$\int_{-1}^{1}Q(x)P_{n}(x)d x = 0$$
証明
性質 1., 2., 3.
性質 4.
ロル（Rolle）の定理を用いる。
有界閉区間 \([a, b]\) 上で定義された連続関数 \(f(x)\) が開区間 \((a, b)\) で微分可能であり、
$$f(a)=f(b)$$を満たすとき、
$$f^{\prime}(c)=0$$となる \(c\in(a,b)\) が存在する。
Rolle の定理
まず、
$$f(x)=(x^2-1)^{n}=(x-1)^{n}(x+1)^{n}$$
とおき、これを \(g(x)=(x-1)^{n}\) と \(h(x)=(x+1)^{n}\) の合成関数と見ると、\(g(\pm 1)=h(\pm 1)=0\) であるから、ライプニッツ（Leibniz）の公式
$$(g(x)h(x))^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{}_n \mathrm{ C }_k g^{(n)}(x) h^{(n-k)}(x)$$
を順次導関数に適用することによって、\(1\leq k\leq n-1\) において常に
$$f^{(k)}(\pm 1)=0$$
が成り立つ。
また、\(f(x)\) は偶関数であり、開区間 \((-1, 1)\) で \(0\) にならない。
したがって、Rolleの定理より
$$f^{(1)}(a_{1}^{(1)})=0$$
を満たす \(a_{1}^{(1)},\quad(-1<a_{1}^{(1)}<1)\) が存在する。
したがって、\(f^{(1)}(-1)=f^{(1)}(a_{1}^{(1)})=f^{(1)}(1)=0\) であるから、\((-1, a_{1}^{(1)}), (a_{1}^{(1)}, 1)\) にRolleの定理をそれぞれ適用して、
$$f^{(2)}(a_{1}^{(2)})=f^{(2)}(a_{2}^{(2)})=0$$
を満たす \(a_{1}^{(2)}, a_{2}^{(2)}\quad(-1<a_{1}^{(2)}<(a_{1}^{(1)})<a_{2}^{(2)}<1)\) が存在することがわかる。
以上の手順を繰り返すと、定義式\((1)\)においては
$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n=0$$
$$\frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n=0$$
を満たす相異なる \(n\) 個の解 \(a_{1}^{(n)}, a_{2}^{(n)}, ..., a_{n}^{(n)}\) が開区間 (\(-1, 1)\) に存在することが示される。
コメント