Properな複素確率変数の意味

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概要
Properとは

概要

この記事では、複素確率変数における"Proper"とは何かについて、その定義と性質を見ていく。

なお、複素確率変数については以下を参照のこと。

概要複素確率変数はその名の通り、複素数の形態をとる確率変数のことである。複素数が $z=a+ib$ の形で表されることを考慮すれば、複素確率変数は実数の確率変数の組 $(a, b)$ として考えることができ、多次元確率変数の知見...

Properとは

定義

複素確率変数 $Z$ が以下の条件をすべて満たすとき、 $Z$ はProperであると言う。

$$\mathbb{E}[Z]=0\tag{1}$$
$$\mathrm{Var}[Z]<\infty\tag{2}$$
$$\mathbb{E}[Z^2]=0\tag{3}$$

定義の変形

上記の定義は、以下の条件と同じ意味を持つ。

$$\mathbb{E}[Z]=0\tag{1'}$$
$$\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2]=\mathbb{E}[\{\mathfrak{I}(Z)\}^2]\neq\infty\tag{2'}$$
$$\mathbb{E}[\mathfrak{R}(Z)\mathfrak{I}(Z)]=0\tag{3'}$$

定義の変形の証明

式 $(3)$ より

$$\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)+i\mathfrak{I}(Z)\}^2]=0$$

$$\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2-\{\mathfrak{I}(Z)\}^2+2i\mathfrak{R}(Z)\mathfrak{I}(Z)]=0$$

$$\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2]-\mathbb{E}[\{\mathfrak{I}(Z)\}^2]+2i\mathbb{E}[\mathfrak{R}(Z)\mathfrak{I}(Z)]=0$$

左辺の実部、虚部が共に $0$ になることから、

$$\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2]=\mathbb{E}[\{\mathfrak{I}(Z)\}^2]\tag{2*}$$

$$\mathbb{E}[\mathfrak{R}(Z)\mathfrak{I}(Z)]=0\tag{3'}$$

が成り立つ。

また複素確率変数の分散の定義より

$$\mathrm{Var}[Z]=\mathbb{E}[|Z|^2]-|\mathbb{E}[Z]|^2$$

であるが、式 $(1)\cdot(1')$ より右辺第２項が $0$ となるので、式 $(2)$ から

$$\mathrm{Var}[Z]=\mathbb{E}[|Z|^2]<\infty$$

すなわち

$$\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2+\{\mathfrak{I}(Z)\}^2]<\infty$$

$$\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2]<\infty,\mathbb{E}[\{\mathfrak{I}(Z)\}^2]<\infty$$

より、式 $(2*)$ と合わせて

$$\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2]=\mathbb{E}[\{\mathfrak{I}(Z)\}^2]\neq\infty\tag{2'}$$

特徴

実部と虚部の共分散行列

複素確率変数 $Z$ の実部・虚部の組 $(\mathfrak{R}(Z), \mathfrak{I}(Z))$ について、一般に、次の共分散行列を考えることができる。

$$\begin{bmatrix}\mathrm{Var}[\mathfrak{R}(Z)] & \mathrm{Cov}[\mathfrak{R}(Z), \mathfrak{I}(Z)] \\
\mathrm{Cov}[\mathfrak{R}(Z), \mathfrak{I}(Z)] & \mathrm{Var}[\mathfrak{I}(Z)]
\end{bmatrix}$$

$Z$ がProperである場合、この行列は以下のように書き換えられる。

$$\begin{bmatrix}\mathrm{Var}[Z] & 0 \\
0 & \mathrm{Var}[Z]
\end{bmatrix}$$

証明

式 $(1)$ より、

$$\mathbb{E}[Z]=0$$

$$\mathbb{E}[\mathfrak{R}(Z)]+i\mathbb{E}[\mathfrak{I}(Z)]=0$$

となり、左辺の実部・虚部が共に $0$ となることから、

$$\mathbb{E}[\mathfrak{R}(Z)]=\mathbb{E}[\mathfrak{I}(Z)]=0\tag{1*}$$

これを踏まえて、以降の証明では

$$Var[Z]=Var[\mathfrak{R}(Z)]+Var[\mathfrak{I}(Z)]$$

の関係式を利用する。導出は以下の記事を参照のこと。

複素確率変数の性質

実部の分散について

$$Var[\mathfrak{R}(Z)]=\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2]-(\mathbb{E}[\mathfrak{R}(Z)])^2$$

$$=\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2] (\because (1*))$$

が成り立つという結果を代入して

$$Var[Z]=\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2]+\mathbb{E}[\{\mathfrak{I}(Z)\}^2]$$

となるが、ここで式 $(2')$ より

$$\mathbb{E}[\{\mathfrak{R}(Z)\}^2]=\mathbb{E}[\{\mathfrak{I}(Z)\}^2]=\frac{1}{2}Var[Z].$$

また、共分散について、式 $(3'), (1*)$ より

$$\mathrm{Cov}[\mathfrak{R}(Z), \mathfrak{I}(Z)]=\mathbb{E}[\mathfrak{R}(Z)\mathfrak{I}(Z)]-\mathbb{E}[\mathfrak{R}(Z)]\mathbb{E}[\mathfrak{I}(Z)]=0.$$

以上より、共分散行列の対角要素は $\frac{1}{2}Var[Z]$ 、それ以外は $0$ となる。

概要

Properとは

定義

定義の変形

定義の変形の証明

特徴

実部と虚部の共分散行列

証明

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