ルジャンドル多項式の定義と性質（3/3）

定義

$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n,\quad(n=0,1,2,...)\tag{1}$$

で定義された関数 $P_{n}(x)$ を、ルジャンドル（Legendre）多項式という。

また、ルジャンドル多項式は、以下のテイラー級数

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n\tag{2}$$

の係数として定義することもできる。

ルジャンドル多項式は、以下の基本的な性質を持つ。

次の漸化式が $n\geq1$ に対して成り立つ。
$$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x)\tag{3}$$
$$P_{n}(-x)=(-1)^n P_{n}(x)$$
$$P_{n}(1)=1,\quad P_{n}(-1)=(-1)^n$$
$P_{n}(x)=0$ は相異なる $n$ 個の実数解を開区間 $(-1, 1)$ 内に持つ。
$$\int_{-1}^{1}x^k P_{n}(x)d x = 0 \quad (n\geq1,\quad k=0,1,2,...,n-1)$$
高々 $n-1$ 次の多項式 $Q(x)$ に対して、
$$\int_{-1}^{1}Q(x)P_{n}(x)d x = 0$$

性質 4. における議論より、 $0\leq k\leq n-1$ において常に

$$f^{(k)}(\pm 1)=0$$

が成り立つ。

$\int_{-1}^{1}x^n P_{n}(x)d x$ について、上記を踏まえて部分積分を繰り返すと、

$$\int_{-1}^{1}x^k \frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$

$$=\left[x^k\frac{d^{n-1}}{d x^{n-1}}(x^2-1)^n\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}k x^{k-1}\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$

$$=-k\int_{-1}^{1}x^{k-1}\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$

$$=k(k-1)\int_{-1}^{1}x^{k-2}\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$

$$\ldots$$

$$=(-1)^k k(k-1)\ldots 2\cdot 1\int_{-1}^{1}\frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}}(x^2-1)^n d x$$

$$=(-1)^k k(k-1)\ldots 2\cdot 1\left[\frac{d^{n-k-1}}{d x^{n-k-1}}(x^2-1)^n\right]_{-1}^{1}$$

$$=0\quad\because 0\leq n-k-1 \leq n-1$$

より、

$$\int_{-1}^{1}x^k P_{n}(x)d x=\frac{1}{2^n n!}\int_{-1}^{1}x^k\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x=0$$

が示された。

高々 $n-1$ 次の多項式 $Q(x)=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k}$ に対して、

$$\int_{-1}^{1}Q(x)P_{n}(x)d x=\int_{-1}^{1}(\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k})P_{n}(x)d x$$

$$=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}\int_{-1}^{1}x^{k}P_{n}(x)d x=0$$

より示された。