定義
$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n,\quad(n=0,1,2,...)\tag{1}$$
で定義された関数 \(P_{n}(x)\) を、ルジャンドル（Legendre）多項式といいます。
また、ルジャンドル多項式は、テイラー級数
$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n\tag{2}$$
の係数として定義することもできます。
性質
この記事では、ルジャンドル多項式が以下の性質をもつことについて証明します。
$$\int_{-1}^{1}x^k P_{n}(x)d x = 0 \quad (n\geq1,\quad k=0,1,2,...,n-1)$$
高々 \(n-1\) 次の多項式 \(Q(x)\) に対して、
$$\int_{-1}^{1}Q(x)P_{n}(x)d x = 0$$
証明
前半
における議論より、 \(0\leq k\leq n-1\) において常に
$$f^{(k)}(\pm 1)=0$$
が成り立ちます。
\(\int_{-1}^{1}x^n P_{n}(x)d x\) について、上記を踏まえて部分積分を繰り返すと、
$$\int_{-1}^{1}x^k \frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$
$$=\left[x^k\frac{d^{n-1}}{d x^{n-1}}(x^2-1)^n\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}k x^{k-1}\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$
$$=-k\int_{-1}^{1}x^{k-1}\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$
$$=k(k-1)\int_{-1}^{1}x^{k-2}\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$
$$\ldots$$
$$=(-1)^k k(k-1)\ldots 2\cdot 1\int_{-1}^{1}\frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}}(x^2-1)^n d x$$
$$=(-1)^k k(k-1)\ldots 2\cdot 1\left[\frac{d^{n-k-1}}{d x^{n-k-1}}(x^2-1)^n\right]_{-1}^{1}$$
$$=0\quad\because 0\leq n-k-1 \leq n-1$$
より、
$$\int_{-1}^{1}x^k P_{n}(x)d x=\frac{1}{2^n n!}\int_{-1}^{1}x^k\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x=0$$
が示されます。
後半
高々 \(n-1\) 次の多項式 \(Q(x)=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k}\) に対して、
$$\int_{-1}^{1}Q(x)P_{n}(x)d x=\int_{-1}^{1}(\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k})P_{n}(x)d x$$
$$=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}\int_{-1}^{1}x^{k}P_{n}(x)d x=0$$
となります。
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