ルジャンドル多項式の定義と性質(3/3)

Pocket
LinkedIn にシェア
LINEで送る

定義

$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^2-1)^n,\quad(n=0,1,2,…)\tag{1}$$

で定義された関数 \(P_{n}(x)\) を、ルジャンドル(Legendre)多項式という。
また、ルジャンドル多項式は、以下のテイラー級数

$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t^n\tag{2}$$

の係数として定義することもできる。

性質

ルジャンドル多項式は、以下の基本的な性質を持つ。

  1. 以下の漸化式が \(n\geq1\) に対して成り立つ。
    $$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)x P_{n}(x)-n P_{n-1}(x)\tag{3}$$
  2. $$P_{n}(-x)=(-1)^n P_{n}(x)$$
  3. $$P_{n}(1)=1,\quad P_{n}(-1)=(-1)^n$$
  4. \(P_{n}(x)=0\) は相異なる \(n\) 個の実数解を開区間 \((-1, 1)\) 内に持つ。
  5. $$\int_{-1}^{1}x^k P_{n}(x)d x = 0 \quad (n\geq1,\quad k=0,1,2,…,n-1)$$
  6. 高々 \(n-1\) 次の多項式 \(Q(x)\) に対して、
    $$\int_{-1}^{1}Q(x)P_{n}(x)d x = 0$$

証明

性質 1., 2., 3.

性質 4.

性質 5.

性質 4. における議論より、\(0\leq k\leq n-1\) において常に

$$f^{(k)}(\pm 1)=0$$

が成り立つ。
\(\int_{-1}^{1}x^n P_{n}(x)d x\) について、上記を踏まえて部分積分を繰り返すと、

$$\int_{-1}^{1}x^k \frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$
$$=\left[x^k\frac{d^{n-1}}{d x^{n-1}}(x^2-1)^n\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}k x^{k-1}\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$
$$=-k\int_{-1}^{1}x^{k-1}\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$
$$=k(k-1)\int_{-1}^{1}x^{k-2}\frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x$$
$$…$$
$$=(-1)^k k(k-1)…2\cdot 1\int_{-1}^{1}\frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}}(x^2-1)^n d x$$
$$=(-1)^k k(k-1)…2\cdot 1\left[\frac{d^{n-k-1}}{d x^{n-k-1}}(x^2-1)^n\right]_{-1}^{1}$$
$$=0\quad \because 0\leq n-k-1 \leq n-1$$

より、

$$\int_{-1}^{1}x^k P_{n}(x)d x=\frac{1}{2^n n!}\int_{-1}^{1}x^k \frac{d^n}{d x^n}(x^2-1)^n d x=0$$

が示された。

性質 6.

高々 \(n-1\) 次の多項式 \(Q(x)=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k}\) に対して、

$$\int_{-1}^{1}Q(x)P_{n}(x)d x=\int_{-1}^{1}(\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}x^{k})P_{n}(x)d x$$
$$=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}\int_{-1}^{1}x^{k}P_{n}(x)d x=0$$

より示された。

Pocket
LinkedIn にシェア
LINEで送る

神経科学を研究している博士学生。Rust, Python, C/C++, Unityを活用して、世界の様々な現象を分析・シミュレートしています。理系分野だけでなく、政治学や社会学も、もちろん分析対象です。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です