最初に大まかなイメージを示す。
汎関数とは「関数の関数」のことであり、汎関数の値はそれが引数としてとる関数により変化する。すなわち、変数\(x\)の関数である\(y(x)\)の値は変数\(x\)に依存するのと同様に、関数\(y\)の汎関数である\(I[y]\)の値は関数\(y\)に依存する。
変分法とは汎関数\(I[y]\)を最大（極大）または最小（極小）とする関数\(y_0\)を求めるための手法であり、その原理は関数\(f(x)\)が最大（極大）または最小（極小）となる点において\(f'(x)=0\)となることを利用する手法に類似する。
汎関数の定義
まず、関数の集合のことを関数族という。そのうえで、汎関数は以下のように定義される。
\({\bf I}\)を関数族とし、おのおのの関数\(y \in {\bf I}\)に１つの数値\(I[y]\)が対応しているとき、この対応を与える\(I\)を汎関数という。
なお、微分学で考える関数と区別するため、\(I\)の括弧には\([\) \(]\)を用いる。
汎関数の非常に単純な例としては、定積分
$$I[y]=\int_a^b y(x)dx$$
が挙げられる。また、\(y\)を変数\(x\)の関数、\(y'\)をその導関数とし、\(F\)は\(x,y,y'\)の与えられた関数とすると、
$$I[y]=\int_a^b F(x,y(x),y'(x))dx \tag{1}$$
も汎関数となる。このように、汎関数はしばしば関数と導関数を含む定積分として表される。
以下では次のことを前提として議論を進める。
- \(F(x,y,y')\)は\({\bf R}^3\)における開集合で３回連続微分可能
- \({\bf I}\)に属する関数は有界な閉区間で連続微分可能
- \({\bf I}\)に属する関数のグラフは\(F\)の定義域の内部に含まれる
変分の定義とその性質
変分の定義
\((1)\)式を変形しながら変分の定義を導く。
\(\eta\)を区間\([a,b]\)で連続微分可能な任意の関数、\(\epsilon\)を定数とする。\(\epsilon\)が十分に小さいならば\(y+\epsilon\eta \in {\bf I}\)となるため、
$$I[y+\epsilon\eta]=\int_a^b F(x,y+\epsilon\eta,y'+\epsilon\eta')dx$$
が定義できる。これは\(y,\eta\)を固定すると\(\epsilon\)の関数として見ることができるため、
$$\Phi(\epsilon)=I[y+\epsilon\eta]$$
とおくと、
$$\Phi'(\epsilon)=\int_a^b[F_y(x,y+\epsilon\eta,y'+\epsilon\eta')\eta+F_{y'}(x,y+\epsilon\eta,y'+\epsilon\eta')\eta']dx$$
が導ける。ここで、\(F_y,F_{y'}\)は連続であり、\(\Phi'(\epsilon)\)は\(\epsilon\)の関数として\(\epsilon\)の近傍で連続であることから、マクローリンの定理より、２次以上の項を\(o(\epsilon)\)とおいて、
$$\Phi(\epsilon)=\Phi(0)+\Phi'(0)\epsilon+o(\epsilon)\tag{2}$$
と表される。
\(\epsilon\)は微小量であるため、これを変数\(\lambda\)の微分と考え、\(d\lambda\)とおく。すると、\((2)\)式の右辺第２項\(\Phi'(0)d\lambda\)は\(\Phi(\lambda)\)の\(\lambda=0\)における微分である。この\(d\lambda\)に対応する\(\eta d\lambda(=\epsilon\eta)\)を変関数\(y\)の変分といい、\(\delta y\)で表す。また、\((2)\)式の第２項（すなわち、１次の項）を汎関数\(I[y]\)の\(y\)における一次変分といい、\(\delta I[y]\)で表す。すなわち、
$$\delta I[y]=\int_a^b[F_y(x,y,y')\delta y+F_{y'}(x,y,y')\delta y']dx \tag{3}$$
となる。また、上記の議論を導関数についても適用すると
$$\delta y'=\eta'd\lambda=(\eta d\lambda)'=(\delta y)'$$
が示される。
変分の性質
変分\(\delta I[y]\)は\(y\)の変分\(\delta y\)にも依存するため、一次変分\(\delta I[y]\)自身も\(y,\delta y\)の汎関数である。これを\(I'[y,\delta y]\)で表すと、
$$\delta I[y]=I'[y,\delta y]$$
となる。ここで\(y\)を固定すると\(I'[y,\delta y]\)は\(\delta y\)の汎関数として線形である。すなわち、\(I'\)は\({\bf C}^1[a,b]\)において定義され、任意の\(\delta y_1,\delta y_2 \in {\bf C}^1[a,b]\)と任意の定数\(c_1,c_2\)に対して
$$I'[y,c_1\delta y_1+c_2\delta y_2]=c_1I'[y,\delta y_1]+c_2I'[y,\delta y_2]$$
を満たす。これは\((3)\)式からすぐに確かめられる。
最大（極大）・最小（極小）との関係
変分学の主な興味の対象は、与えられた汎関数を最大（極大）または最小（極小）にする関数を求めることにある。数学や物理学の重要問題の多くは多変数関数を含むため、その解を求めるために変分法が利用される例は少なくない。（例えば、下記参照）
汎関数が、関数\(y^*(x)\)において局所的に最大（極大）値または最小（極小）値をとる時、\(y^*(x)\)を極値関数と呼ぶ。また、汎関数の一次変分を０にする関数\(y_0(x)\)を停留関数といい、このときの\(I\)の値を停留値と呼ぶ。\(y\)が停留関数であることは、\(y\)が極値関数であるための必要条件である。
したがって、\((1)\)式のような汎関数の形で与えられる問題の最大（極大）値または最小（極小）値を求める際には、一次変分\(\delta I[y]\)を導出して
$$\delta I[y]=0$$
とおいて停留関数・停留値を求める。この手法は、一変数関数\(f(x)\)の値を最大にする\(x\)を求めるために\(f'(x)=0\)とすることに似ている。
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