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Δ-Y(デルタ-スター)変換の公式とその証明

自然科学
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概要

この記事では、等価回路の置き換え公式であるΔ-Y(デルタ-スター)変換の公式について解説し、その証明も行う。

Δ-Y(デルタ-スター)変換

Δ回路とY回路

図1

図2

図1のような回路をΔ(デルタ)回路、図2のような回路をY(スター)回路といい、この2つは相互に等価回路として書き換え可能である。

Δ→Yの変換

\(r_a,r_b,r_c\) を以下のように設定することで、Δ回路をY回路へと書き換えることができる。

$$r_a=\frac{R_b R_c}{R_a+R_b+R_c}$$

$$r_b=\frac{R_c R_a}{R_a+R_b+R_c}$$

$$r_c=\frac{R_a R_b}{R_a+R_b+R_c}$$

すなわち、Δ回路の抵抗の総和が分母、Y回路の抵抗に隣接するΔ回路の2抵抗の積が分子となる。

Y→Δの変換

\(R_a,R_b,R_c\) を以下のように設定することで、Y回路をΔ回路へと書き換えることができる。

$$R_a=\frac{r_a r_b+r_b r_c+r_c r_a}{r_a}$$

$$R_b=\frac{r_a r_b+r_b r_c+r_c r_a}{r_b}$$

$$R_c=\frac{r_a r_b+r_b r_c+r_c r_a}{r_c}$$

すなわち、Δ回路の抵抗の対辺にあるY回路の抵抗が分母、Y回路の隣接する抵抗の積の和が分子となる。

証明

図3

Δ回路とY回路が等価である場合、その一部を取り出しても等価になる。図3のようにA-Bの接続のみを抜き出すと、対応するΔ回路の部分は次の図4のようになる(端子Cには特に注目しない)。

図4

Y回路におけるA-Bの合成抵抗は \(r_a+r_b\) であり、Δ回路における合成抵抗を \(R^D_{AB}\) とおくと、

$$\frac{1}{R^D_{AB}}=\frac{1}{R_c}+\frac{1}{R_a+R_b}=\frac{R_a+R_b+R_c}{R_c(R_a+R_b)}$$

より

$$R^D_{AB}=\frac{R_c(R_a+R_b)}{R_a+R_b+R_c}$$

となる。これらが等価であるので

$$r_a+r_b=\frac{R_c(R_a+R_b)}{R_a+R_b+R_c}\tag{1.1}$$

が成り立ち、またB-C, C-A間でも同様にして

$$r_b+r_c=\frac{R_a(R_b+R_c)}{R_a+R_b+R_c}\tag{1.2}$$

$$r_c+r_a=\frac{R_b(R_c+R_a)}{R_a+R_b+R_c}\tag{1.3}$$

が得られる。これらの辺々を足すと

$$2(r_a+r_b+r_c)=\frac{2(R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a)}{R_a+R_b+R_c}$$

$$r_a+r_b+r_c=\frac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_a+R_b+R_c}$$

となり、ここから式 \((1.1), (1.2), (1.3)\) の辺々をそれぞれ引くことで

$$r_a=\frac{R_b R_c}{R_a+R_b+R_c}\tag{2.1}$$

$$r_b=\frac{R_c R_a}{R_a+R_b+R_c}\tag{2.2}$$

$$r_c=\frac{R_a R_b}{R_a+R_b+R_c}\tag{2.3}$$

が求まる。

また、式 \((1.3), (1.1)\) の辺々を掛けると

$$(r_c+r_a)(r_a+r_b)=\frac{R_b(R_c+R_a)R_c(R_a+R_b)}{(R_a+R_b+R_c)^2}$$

$$r_ar_b+r_br_c+r_cr_a+r^2_a=\frac{R_bR_c(R_c+R_a)(R_a+R_b)}{(R_a+R_b+R_c)^2}$$

となり、式 \((2.1)\) で辺々を割ると

$$\frac{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}{r_a}+r_a=\frac{(R_c+R_a)(R_a+R_b)}{R_a+R_b+R_c}$$

$$\frac{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}{r_a}+r_a=\frac{R_a(R_a+R_b+R_c)+R_bR_c}{R_a+R_b+R_c}$$

$$\frac{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}{r_a}+r_a=R_a+\frac{R_bR_c}{R_a+R_b+R_c}$$

さらに式 \((2.1)\) の辺々を引くと

$$\frac{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}{r_a}=R_a$$

が求まる。式 \((1.1)-(1.2)-(2.2), (1.2)-(1.3)-(2.3)\) の組についても同様の計算を行うと

$$\frac{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}{r_b}=R_b$$

$$\frac{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}{r_c}=R_c$$

が導出される。

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