複素数の指数関数・対数関数・べき乗と、その微分公式

以下、特に断りなく、複素数 $z$ について

$$z=x+iy\quad(x, y は実数)$$

とおき、$z$ の実部を $x$ 、虚部を $y$ で表す。

指数関数
対数関数
べき乗
1. 定義
2. 微分公式
  1. 証明

指数関数

定義

$$f(z)=e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}$$
$$=e^x(\cos{y}+i\sin{y})\tag{1}$$

性質

定義式の形状より、指数関数は $y$ 方向（虚軸方向）について周期関数となっている。すなわち

$$e^z=e^{z+2\pi i}$$

微分公式

$$f^{\prime}(z)=f(z)=e^z\tag{2}$$

微分は複素平面全体において定義され、指数関数は正則である。

対数関数

定義

実関数において、対数関数は指数関数の１価の（１対１対応する）逆関数として定義できたが、上記の通り、複素数における指数関数は周期関数となるため、対数関数の複素数への拡張は多価関数（１対多対応）となる。
定義式は、$z$ が極形式で $z=re^{i\theta}$ と表せることを用いて

$$\log{z}=\log{r}+i\theta\quad(z\neq 0)\tag{3}$$

となる。ここで $r, \theta$ はそれぞれ、$z$ の原点からの距離と偏角を表している。

定義式において、左辺の $log$ は複素数に拡張した対数関数であるが、右辺の $log$ は正の実数に対する対数関数であるため、意味が異なるので注意する。

また、偏角 $\theta$ には $2\pi$ の任意性があり

$$\theta=\arg{z}={\rm Arg}\ z+2n\pi\quad(n：整数)$$

と表せる。ここでは $-\pi\leq {\rm Arg}\ z<\pi$ とし、整数 $n$ は任意の値を取れることから、$\log{z}$ は無限多価関数となる。

上式において $n=0$ としたものは対数関数の主値と呼ばれ、

$${\rm Log}\ z=\log{r}+i{\rm Arg}\ z\tag{3*}$$

と表記する。

性質

偏角の主値の定義を $-\pi\leq {\rm Arg}\ z<\pi$ としているとき、$\log{z}$ は負の実軸と原点で連続ではない。

証明

実部が正で、虚部が十分に小さい複素数 $z_{1}, z_{2}$ は、十分に小さい $\delta >0, \epsilon >0$ を用いて

$$z_{1}=x+i\delta=xe^{i\epsilon}$$
$$z_{2}=x-i\delta=xe^{-i\epsilon}$$

と書ける（ $x>0$ ）。
ここで、$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ であり、$\theta$ が十分小さい時、$\cos{\theta}\simeq 1,\ \sin{\theta}\simeq\theta$ であることから

$$xe^{i\epsilon}\simeq x(1+i\epsilon)=x+ix\epsilon$$

であり、$x\epsilon=\delta$ と置くことで上式を得た。

よって $z_{1}, z_{2}$ について対数関数の主値を取り、 $\epsilon\to +0(\delta\to + 0)$とすると

$${\rm Log}\ z_{1}=\log{x}+i\epsilon\to\log{x}$$
$${\rm Log}\ z_{2}=\log{x}-i\epsilon\to\log{x}$$

であり、正の実軸では連続である。

同様に、実部が負の複素数 $z_{3}, z_{4}$ は

$$z_{3}=-x+i\delta=xe^{i(\pi-\epsilon)}$$
$$z_{4}=-x-i\delta=xe^{i(-\pi+\epsilon)}$$

と書ける（ $x>0$ ）。対数関数の主値を取り、 $\epsilon\to +0$とすると

$${\rm Log}\ z_{3}=\log{x}+i(\pi-\epsilon)\to\log{x}+\pi i$$
$${\rm Log}\ z_{4}=\log{x}-i(\pi-\epsilon)\to\log{x}-\pi i$$

となり、負の実軸に近づくとき、極限値が異なる。
よって、対数関数は負の実軸において不連続である。

上記の性質は偏角の主値 ${\rm Arg}\ z$ の取り方に依存するため、注意が必要である。

その他の一般的な性質

複素数の対数関数は多価関数であるため、実数の対数関数がにおいて見られた性質が必ずしも成立しないことに注意する。

$e^{\log{z}}=z$
$\log{e^z}\neq z$
$\log{z_{1}z_{2}}=\log{z_{1}}+\log{z_{2}}$
${\rm Log}\ {z_{1}z_{2}}\neq{\rm Log}\ {z_{1}}+{\rm Log}\ {z_{2}}$
$\log{z}\neq n\log{z}$

微分公式

$$({\rm Log}\ z)^{\prime}=\frac{1}{z}\tag{4}$$
$$(\log{z})^{\prime}=\frac{1}{z}\tag{5}$$

対数関数の主値 ${\rm Log}\ z$ は、領域 $|z|>0,\ -\pi\leq{\rm Arg}\ z<\pi$ において１価かつ正則である。

証明

${\rm Log}\ z$ が１価であることは明らか。

領域 $|z|>0,\ -\pi\leq{\rm Arg}\ z<\pi$ において $(3*)$ 式より、$u(r,\theta)=\log{r},\ v(r,\theta)={\rm Arg}\ z=\theta$ とする。ここで、$z$ の偏角 $\theta$ は主値に固定した。
$u,v$ を $r,\theta$ で偏微分すると

$$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r},\ \frac{\partial u}{\partial \theta}=0$$
$$\frac{\partial v}{\partial r}=0,\ \frac{\partial v}{\partial \theta}=1$$

より、コーシー＝リーマン方程式

$$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}$$
$$\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}$$

が成立するので、${\rm Log}\ z$ は領域 $|z|>0,\ -\pi\leq{\rm Arg}\ z<\pi$ において微分可能、すなわち正則である。

よって、複素関数の極限が複素平面上の経路によらないことに注意して、偏角を $\theta_{0}$ に固定し、距離 $r$ を変化させることで $z_{0}=r_{0}e^{i\theta_{0}}$ における微分を考える。
$z=re^{i\theta_{0}}$ とおくと $\Delta z=z-z_{0}=(r-r_{0})e^{i\theta_{0}}=e^{i\theta_{0}}\Delta r$ であるので

$$({\rm Log}\ z)^{\prime}=\lim_{\Delta r \to 0}\frac{1}{\Delta re^{i\theta_{0}}}[u(r_{0}+\Delta r,\theta_{0})+iv(r_{0}+\Delta r,\theta_{0}) -u(r_{0},\theta_{0})-iv(r_{0},\theta_{0})]$$
$$=(\frac{\partial u(r_{0},\theta_{0})}{\partial r}+i\frac{\partial v(r_{0},\theta_{0})}{\partial r})e^{-i\theta_{0}}$$
$$=(\frac{1}{r}+0)e^{-i\theta_{0}}=\frac{1}{z}$$

が成り立つ。

また、$z=\exp{(\log{z})}$ より、$u=\log{z}$ とおいて両辺を $z$ で微分すると

$$1=\frac{d}{dz}\exp{(u)}$$
$$1=\frac{d}{du}\exp{(u)}\frac{du}{dz}$$
$$1=\exp{(u)}\cdot\frac{du}{dz}$$

すなわち

$$\frac{d}{dz}\log{z}=\frac{1}{\exp{(u)}}=\frac{1}{z}$$