ロジスティック方程式の意味・導出・解き方

ロジスティック方程式は、生物の個体数の変化を表現した方程式です。この記事では、ロジスティック方程式の意味・方程式が導出される理由・方程式を解く方法を解説します。

また、名前が似ている「ロジスティック（シグモイド）関数」との関係についても考察します。

Index

ロジスティック方程式とは？
ロジスティック方程式の導出
1. マルサスモデル
2. ロジスティック方程式
ロジスティック方程式の解

ロジスティック方程式とは？

ロジスティック方程式は以下の式で与えられる常微分方程式です。

$$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)\tag{1}$$

それぞれの文字の意味は

$N$ ：生物の個体数
$t$ ：時間
$r$ ：内的自然増加率
- 対象としている生物が潜在的に持っている、繁殖増加率の最大値
$K$ ：環境収容力
- 環境内に存在できる生物の最大個体数

です。つまり、この方程式は、生物や環境のキャパシティに依存した、生物の個体数の時間変化を表した式ということができます。

ロジスティック方程式の導出

マルサスモデル

ロジスティック方程式の前身はマルサスモデル

$$\frac{dN}{dt}=mN\tag{2}$$

です。

この式は、トマス・ロバート・マルサスが著書『人口の原理』で、人口は幾何級数的に増加すると述べたことに基づくモデルです。つまり、生物の増加数が親世代（今存在する個体）の数に比例する（親１匹当たり $m$ 匹の子を産む）ことを表現しています。これを解くと

$$N=\exp{(mt)}+C$$

（ただし、$C$ は初期値に依存する定数）となり、文字通り指数関数的に増加を続けることがわかります。

なお、式中の $m$ はマルサス係数と呼ばれます。

ロジスティック方程式

ところが、上のモデルのように、個体数が際限なく上昇し続けることはありえないでしょう。

およそ環境には個体が存在可能な限界数があるはずだ、という考えから、環境収容力 $K$ が導入されました。また、個体数が限界に近づくにつれ、個体の増加率を表す係数 $m$ の値は減少するはずです。

ロジスティック方程式においては、この減少が直線的に起こることを仮定しました。

すなわち下図

のような関係です。

この直線の切片は $m$ の潜在的な（ $N\rightarrow 0$ という極限状況下での）最大値を表し、内的自然増加率 $r$ と名付けられました。

直線の式

$$m=-\frac{r}{K}N+r=r\left(1-\frac{N}{K}\right)$$

を式 $(1)$ に代入して

$$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)\tag{1☆}$$

を得ます。これがロジスティック方程式です。

ちなみに、ロジスティック方程式の名前の由来についてはイマイチはっきりしないので、ここでは触れないことにします。

ロジスティック方程式の解

ロジスティック方程式は変数分離法を用いて解くことができます。

微分方程式の解き方一覧については

【全９パターン網羅】微分方程式の解法一覧

微分方程式を形状ごとに分類し、それぞれの解法を解説しています。解法の基本は変数分離形または定数係数の線形の微分方程式です。より複雑な微分方程式は、これらのパターンに帰着させることを目標にしていると考えると、すべての解法を簡単に覚えることができます。

を参照してください。

$$\frac{dN}{dt}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right)$$

$$\frac{dN}{dt}=\frac{r}{K}N(K-N)$$

$$\int\frac{K}{N(K-N)}dN=r\int dt$$

ここで

$$\frac{K}{N(K-N)}=\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}$$

と部分分数分解されることを用いて

$$\int\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}\right)dN=r\int dt$$

$$\ln{N}-\ln{(K-N)}=rt+C$$

$$\ln{\frac{N}{K-N}}=rt+C$$

となります。ここで、初期条件として $t=0$ のとき $N=N_{0}$ とおくと

$$C=\ln{\frac{N_{0}}{K-N_{0}}}$$

より、これを代入して

$$\ln{\frac{N}{K-N}}=rt+\ln{\frac{N_{0}}{K-N_{0}}}$$

$$\ln{\frac{N(K-N_{0})}{(K-N)N_{0}}}=rt$$

$$\frac{N(K-N_{0})}{(K-N)N_{0}}=e^{rt}$$

$$N(K-N_{0})=e^{rt}(K-N)N_{0}$$

$$N(K-N_{0}+N_{0}e^{rt})=N_{0}Ke^{rt}$$

$$N=\frac{N_{0}Ke^{rt}}{K-N_{0}+N_{0}e^{rt}}\tag{☆}$$

という解が得られます。

なお、ここで $K=1$, $N_{0}=0.5$, $r=1$ を代入すると

$$N=\frac{0.5e^{t}}{0.5+0.5e^{t}}$$

$$N=\frac{1}{1+e^{-t}}$$

となり、$N\rightarrow p$, $t\rightarrow a$ と置き換えて、ロジスティックシグモイド関数

$$p=\frac{1}{1+e^{-a}}$$

が得られます。

この、ロジスティック方程式とロジスティックシグモイド関数の関係については

「ロジスティック方程式」と「ロジスティックシグモイド関数」の関係についての考察

ロジスティック方程式は生物の個体数の変化を表す方程式で、ロジスティック関数（ロジスティックシグモイド関数）はオッズを確率に変換する関数です。この記事では、名前の似たこれら２つの式の関係を考察します。結論としては、ロジスティック方程式が持つ仮定から、生物の個体数を確率として解釈できることが、ロジスティック関数との類似性を生んでいると考えられます。

で考察を加えています。