定数係数２階同次線形と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。
この方程式は、特性方程式の解の個数によって、微分方程式の解の形状を決定する解法パターンのもっとも基本的なものである。
特性方程式の解と微分方程式の解の関係については暗記するのが基本だが、特性方程式の意味・なぜ作るのか？を合わせて読むことで、暗記ではなく原理として理解できる。
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定義
\(y\) が \(x\) の関数であるとき
$$\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=0$$
の形で書ける微分方程式を２階同次線形微分方程式という。
\(P(x), Q(x)\) がともに定数である定数係数２階同次線形微分方程式の場合、解の形状には特徴があることが知られている。
解法
定数係数２階同次線形微分方程式を、実定数 \(a, b\) を用いて
$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$$
と書く。
特性方程式を \(\lambda^2+a\lambda+b=0\) とし、その判別式を \(D=a^2-4b\) としたとき、一般解 \(y(x)\) の形状は以下の３種類に分けられる（ \(C_1, C_2\) を任意定数とする）。
\(D>0\) のとき
特性方程式の２実解を \(\lambda=\lambda_1, \lambda_2\) （ \(\lambda_1\neq\lambda_2\) ）とすると
$$y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}$$
\(D=0\) のとき
特性方程式の重解を \(\lambda=\lambda_1\) とすると
$$y(x)=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}$$
\(D< 0\) のとき
特性方程式の複素数解を \(\lambda=p\pm qi\) （ \(p, q\) は実数）とすると
$$y(x)=e^{px}(C_1\cos qx+C_2\sin qx)$$
例題
$$y''+4y'+13=0$$
特性方程式を \(\lambda^2+4\lambda+13=0\) とおくと
$$\lambda=-2\pm 3i$$
より、任意定数 \(C_1, C_2\) を用いると、一般解は
$$y=e^{-2x}(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x)$$
微分方程式の解法一覧
その他の微分方程式の解法は、以下の記事を参照のこと。
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