This section explains how to solve differential equations, called the homogeneous linear differential equations of the second order with constant coefficients.
This equation is the most basic of the solution patterns, where the number of solutions to the characteristic equation determines the shape of the solution to the differential equation.
The relationship between solutions to characteristic equations and solutions to differential equations is basically memorized, but What Do Characteristic Equations Mean and Why Do We Make Them? article, you can understand it as a principle rather than memorization.
定義
\(y\) が \(x\) の関数であるとき
$$\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=0$$
の形で書ける微分方程式を２階同次線形微分方程式という。
(P(x), Q(x)) がともに定数である定数係数２階同次線形微分方程式の場合、解の形状には特徴があることが知られている。
解法
定数係数２階同次線形微分方程式を、実定数 (a, b) を用いて
$$frac{d^2y}{dx^2}+afrac{dy}{dx}+by=0$$
と書く。
特性方程式を (lambda^2+alambda+b=0) とし、その判別式を (D=a^2-4b) としたとき、一般解 (y(x)) の形状は以下の３種類に分けられる（ (C_1, C_2) を任意定数とする）。
(D>0) のとき
特性方程式の２実解を (lambda=lambda_1, lambda_2) （ (lambda_1neqlambda_2) ）とすると
$$y(x)=C_1e^{lambda_1 x}+C_2e^{lambda_2 x}$$
(D=0) のとき
特性方程式の重解を (lambda=lambda_1) とすると
$$y(x)=(C_1+C_2x)e^{lambda_1x}$$
(D< 0) のとき
特性方程式の複素数解を (lambda=ppm qi) （ (p, q) は実数）とすると
$$y(x)=e^{px}(C_1cos qx+C_2sin qx)$$
例題
$$y''+4y'+13=0$$
特性方程式を (lambda^2+4lambda+13=0) とおくと
$$lambda=-2pm 3i$$
より、任意定数 (C_1, C_2) を用いると、一般解は
$$y=e^{-2x}(C_1cos 3x+C_2sin 3x)$$
微分方程式の解法一覧
その他の微分方程式の解法は、以下の記事を参照のこと。
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