変数分離形と呼ばれる微分方程式の解き方について解説します。
これは微分方程式の解法としてもっとも基本的なものであり、より複雑な微分方程式の解法も、式変形によりこの形に帰着させることを目標としているため、確実に習得しておきたい考え方です。
定義
\(y\) が \(x\) の関数であるとき
$$\frac{dy}{dx}=P(x)Q(y)$$
の形に書ける微分方程式を変数分離形といいます。
解法
左辺に \(y\) 、右辺に \(x\) が来るように変形し、両辺を積分します（ \(C\) は任意定数）。
$$\int\frac{1}{Q(y)}dy=\int P(x)dx+C$$
例
$$\frac{dy}{dx}=\frac{(x-1)y}{(y+1)x}$$
を解くことを考えます。これは
$$P(x)=\frac{x-1}{x}, Q(y)=\frac{y}{y+1}$$
と書ける変数分離形です。
\(y\neq 0\) のとき、移行して両辺を積分し、任意定数を \(C_1\) とおくと
$$\int\frac{y+1}{y}dy=\int\frac{x-1}{x}dx+C_1$$
$$\int\left(1+\frac{1}{y}\right)dy=\int\left(1-\frac{1}{x}\right)dx+C_1$$
$$y+\ln|y|=x-\ln|x|+C_1$$
$$C_1=\ln|x|+\ln|y|+y-x$$
$$C_1=\ln|xy\exp(y-x)|$$
$$\exp(C_1)=|xy\exp(y-x)|$$
$$\pm\exp(C_1)=xy\exp(y-x)$$
したがって、 \(C=\pm\exp(C_1)\) とおくと
$$xy\exp(y-x)=C$$
が解になります。
また、 \(y=0\) も解であり、このとき \(C=0\) です。
微分方程式の解法一覧
その他の微分方程式の解法は、以下の記事を参照してください。
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