定数係数２階非同次線形と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。
この形は、同じ定数係数２階微分方程式の同次形に \(x\) の多項式が加わったものである。
一般解はこれを反映し、同次形の一般解（余関数）と特殊解の和によって表される。
定義
\(y\) が \(x\) の関数であるとき
$$\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=R(x)$$
の形で書ける微分方程式を２階非同次線形微分方程式という。
\(P(x), Q(x)\) がともに定数である定数係数２階非同次線形微分方程式の場合、解の形状には特徴があることが知られている。
解法
定数係数２階非同次線形微分方程式を、実定数 \(a, b\) を用いて
$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=R(x)\tag{1}$$
と書く。このとき、この微分方程式の一般解は
$$y(x)=y_c(x)+Y(x)$$
という形をとる。
余関数 \(y_c(x)\)
ここで、 \(y_c(x)\) を余関数という。余関数は \((1)\) 式から \(R(x)\) の項を除いた定数係数２階同次線形微分方程式
$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0\tag{2}$$
の一般解である。２階同次線形微分方程式の解法は
を参照。
特殊解 \(Y(x)\)
\(Y(x)\) は特殊解と呼ばれ、実際に \((1)\) 式を満たす関数の一例である。
すなわち、定数係数２階非同次線形微分方程式の一般解は上記の２種類の関数の和として導かれる。
- 余関数：（任意定数を用いて）解の一般性を表現する部分
- 特殊解：解が実際に \((1)\) 式を満たすように調整する
特殊解は未定係数法という手法を用いて求める。具体的には、以下の流れで特殊解の形状を推定する。
- 後に示す「基本形」を用いて \(R(x)\) の項を変換し、特殊解候補を推定する
- 推定した特殊解候補の項と、余関数の項を比較する
- 項に重複がある場合、その特殊解候補の項に \(x\) または \(x^2\) を掛けて被らないようにする
余関数は任意定数 \(C_1, C_2\) を用いて表されるため、余関数が特殊解候補と同一の項を有している場合、これら任意定数を適当に変化させることで、その項を消去することができてしまう。そのため3.の処理を施して、項の影響が消えないようにしている。
\(R(x)\) 変換の基本形
- \(m\) 次の多項式
- \(A_mx^m+\cdots+A_1x+A_0\)
- 指数関数 \(e^{\alpha x}\)
- \(Ae^{\alpha x}\)
- \(x^me^{\alpha x}\)
- \(e^{\alpha x}(A_mx^m+\cdots+A_1x+A_0)\)
- 三角関数 \(\cos\beta x, \sin\beta x\)
- \(A\cos\beta x+B\sin\beta x\)
- \(e^{\alpha x}\cos\beta x, e^{\alpha x}\sin\beta x\)
- \(e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)\)
特殊解候補の項と余関数の項が重複するケース
余関数を求める際に用いた特性方程式を \(\lambda^2+p\lambda+q=0\) とする。この方程式の解によって、余関数は以下のように与えられる。
- \(y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}\) （ \(\lambda=\lambda_1,\lambda_2\) ：２実解）
- \(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_0 x}\) （ \(\lambda=\lambda_0\) ：重解）
- \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\) （ \(\lambda=\alpha\pm\beta i\) ：２虚数解）
これらの関数と上記の基本形（特殊解の候補）で項の一部が被るのは以下のケースである。
- \(A_mx^m+\cdots+A_1x+A_0\)
- \(y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}\) で \(\lambda_1=0\) または \(\lambda_2=0\)
- \(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_0 x}\) で \(\lambda_0=0\)
- \(Ae^{\alpha x}\)
- \(y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}\) で \(\lambda_1=\alpha\) または \(\lambda_2=\alpha\)
- \(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_0 x}\) で \(\lambda_0=\alpha\)
- \(e^{\alpha x}(A_mx^m+\cdots+A_1x+A_0)\)
- \(y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}\) で \(\lambda_1=\alpha\) または \(\lambda_2=\alpha\)
- \(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_0 x}\) で \(\lambda_0=\alpha\)
- \(A\cos\beta x+B\sin\beta x\)
- \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\) で \(\alpha=0\Leftrightarrow\lambda=\pm\beta i\)
- \(e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)\)
- \(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\) で \(\lambda=\alpha\pm\beta i\)
ここで、 \(\lambda\) が２実解・２虚数解となる場合で項に重複が生じたケースは、基本形（特殊解の候補）に \(x\) を掛けることで回避できる。ところが、 \(\lambda\) が重解となる場合には \(x^2\) を掛ける必要がある。
なぜならば1.から3.のケースにおいて、 \(\lambda\) が２実解の場合は定数項のみ重複しているが、 \(\lambda\) が重解の場合は定数項と \(x\) の項が重複しているためである。
以上のことをまとめると、基本形は以下のように補正できる。
項の重複による基本形の補正
- \(m\) 次の多項式
- \(\lambda=0\) が１重解 \(\Rightarrow x(A_mx^m+\cdots+A_1x+A_0)\)
- \(\lambda=0\) が２重解 \(\Rightarrow x^2(A_mx^m+\cdots+A_1x+A_0)\)
- 指数関数 \(e^{\alpha x}\)
- \(\lambda=\alpha\) が１重解 \(\Rightarrow Axe^{\alpha x}\)
- \(\lambda=\alpha\) が２重解 \(\Rightarrow Ax^2e^{\alpha x}\)
- \(x^me^{\alpha x}\)
- \(\lambda=\alpha\) が１重解 \(\Rightarrow xe^{\alpha x}(A_mx^m+\cdots+A_1x+A_0)\)
- \(\lambda=\alpha\) が２重解 \(\Rightarrow x^2e^{\alpha x}(A_mx^m+\cdots+A_1x+A_0)\)
- 三角関数 \(\cos\beta x, \sin\beta x\)
- \(\lambda=\pm\beta i\Rightarrow x(A\cos\beta x+B\sin\beta x)\)
- \(e^{\alpha x}\cos\beta x, e^{\alpha x}\sin\beta x\)
- \(\lambda=\alpha\pm\beta i\Rightarrow xe^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)\)
例題
$$y''-2y'+y=(x^2+2x+3)e^x\tag{1}$$
特性方程式から
$$\lambda^2-2\lambda+1=0\Leftrightarrow (\lambda-1)^2=0\quad\therefore\lambda=1$$
より、２重解となる。よって余関数は
$$y_c(x)=(C_1+C_2x)e^x$$
右辺の多項式部分・指数関数部分をそれぞれ基本形で変換し、係数をまとめると \((Ax^2+Bx+C)e^x\) となるが、 \(xe^x, e^x\) の項が余関数と重複する。
よって \(x^2\) を掛けて、特殊解を
$$Y(x)=x^2(Ax^2+Bx+C)e^x$$
とおくと
$$Y'=(4Ax^3+3Bx^2+2Cx)e^x+(Ax^4+Bx^3+Cx^2)e^x$$
$$=\{Ax^4+(4A+B)x^3+(3B+C)x^2+2Cx\}e^x$$
$$Y''=\{4Ax^3+3(4A+B)x^2+2(3B+C)x+2C\}e^x+\{Ax^4+(4A+B)x^3+(3B+C)x^2+2Cx\}e^x$$
$$=\{Ax^4+(8A+B)x^3+(12A+6B+C)x^2+(6B+4C)x+2C\}e^x$$
より、 \((1)\) に代入して
$$\{Ax^4+(8A+B)x^3+(12A+6B+C)x^2+(6B+4C)x+2C\}e^x-2\{Ax^4+(4A+B)x^3+(3B+C)x^2+2Cx\}e^x+x^2(Ax^2+Bx+C)e^x=(x^2+2x+3)e^x$$
$$\{(12A-1)x^2+(6B-2)x+2C-3\}e^x=0$$
よって
$$A=\frac{1}{12}, B=\frac{1}{3}, C=\frac{3}{2}$$
以上より、一般解は
$$y_c(x)+Y(x)=(C_1+C_2x)e^x+x^2\left(\frac{1}{12}x^2+\frac{1}{3}x+\frac{3}{2}\right)e^x$$
$$=\left(C_1+C_2x+\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{12}x^4\right)e^x$$
微分方程式の解法一覧
その他の微分方程式の解法は、以下の記事を参照のこと。
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