【微分方程式の解法７】オイラーの微分方程式

オイラーの微分方程式と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。

この方程式は係数が定数でない２階線形微分方程式の特殊パターンであり、対数をとって変数変換することにより、定数係数に変形できる。

定義

\(y\) が \(x\) の関数であり、 \(a, b\) が定数であるとき

$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ax\frac{dy}{dx}+by=R(x)\tag{1}$$

の形で書ける２階線形微分方程式をオイラーの微分方程式という。

通常、 \(x>0\) や \(x< 0\) などの範囲の指定が与えられる。

解法

\(x>0\) のとき

\(t=\ln x\) （ \(\ln\) は自然対数）、すなわち \(x=e^t\) とおき、定数係数の２階線形微分方程式に帰着させる。

\(t=\ln x\) とおくと、 \(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}=e^{-t}\) より

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}e^{-t}$$

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}e^{-t}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}e^{-t}\right)\frac{dt}{dx}$$

$$=\left(\frac{d^2y}{dt^2}e^{-t}-\frac{dy}{dt}e^{-t}\right)e^{-t}=\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)e^{-2t}$$

\((1)\) に代入すると

$$e^{2t}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)e^{-2t}+ae^t\frac{dy}{dt}e^{-t}+by=R(e^t)$$

$$\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)+a\frac{dy}{dt}+by=R(e^t)$$

$$\frac{d^2y}{dt^2}+(a-1)\frac{dy}{dt}+by=R(e^t)$$

となる。あとは２階同次線形微分方程式

【微分方程式の解法５】定数係数２階同次線形

定数係数２階同次線形と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。この方程式は、特性方程式の解の個数によって、微分方程式の解の形状を決定する解法パターンのもっとも基本的なものである。「特性方程式の意味・なぜ作るのか？」を合わせて読むと、特性方程式の解と微分方程式の解の関係を暗記ではなく原理として理解できる。

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2024.10.16

または２階非同次線形微分方程式

【微分方程式の解法６】定数係数２階非同次線形

定数係数２階非同次線形と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。この形は、同じ定数係数２階微分方程式の「同次形」にxの多項式が加わったものである。一般解はこれを反映し、同次形の一般解（余関数）と特殊解の和によって表される。

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2024.10.16

解けば良い。

\(x< 0\) のとき

\(t=\ln(-x)\) 、すなわち \(x=-e^t\) とおき、定数係数の線形微分方程式に帰着させる。

例題

\(x>0\) のとき、次の微分方程式を解け。

$$x^2y”-5xy’+9y=x\tag{2}$$

\(t=\ln x\) とおくと \(x=e^t\) であり

$$y’=\frac{dy}{dt}e^{-t}$$

$$y”=\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)e^{-2t}$$

なので、 \((2)\) に代入して

$$e^{2t}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)e^{-2t}-5e^t\frac{dy}{dt}e^{-t}+9y=e^t$$

$$\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)-5\frac{dy}{dt}+9y=e^t$$

$$\frac{d^2y}{dt^2}-6\frac{dy}{dt}+9y=e^t\tag{3}$$

特性方程式を \(\lambda^2-6\lambda+9=0\) とおくと

$$(\lambda-3)^2=0$$

より、 \(\lambda=3\) （２重解）となるので、 \((3)\) の余関数は任意定数 \(C_1, C_2\) を用いて

$$y_c(t)=(C_1+C_2t)e^{3t}$$

とおける。特殊解を

$$Y(t)=Ae^t$$

とおくと、

$$Y'(t)=Ae^t$$

$$Y”(t)=Ae^t$$

であり、 \((3)\) に代入して

$$Ae^t-6Ae^t+9Ae^t=e^t$$

$$(4A-1)e^t=0$$

より、 \(A=\frac{1}{4}\) なので、 \(Y(t)=\frac{1}{4}e^t\) 。

よって一般解は

$$y=y_c(t)+Y(t)=(C_1+C_2t)e^{3t}+\frac{1}{4}e^t$$

\(t=\ln x\) を再代入すると

$$y=(C_1+C_2\ln x)e^{3\ln x}+\frac{1}{4}e^{\ln x}$$

$$=(C_1+C_2\ln x)e^{\ln x^3}+\frac{1}{4}e^{\ln x}$$

$$=(C_1+C_2\ln x)x^3+\frac{1}{4}x$$

$$=C_1x^3+C_2x^3\ln x+\frac{1}{4}x$$

微分方程式の解法一覧

その他の微分方程式の解法は、以下の記事を参照のこと。

【全９パターン網羅】微分方程式の解法一覧

微分方程式を形状ごとに分類し、それぞれの解法を解説しています。解法の基本は変数分離形または定数係数の線形の微分方程式です。より複雑な微分方程式は、これらのパターンに帰着させることを目標にしていると考えると、すべての解法を簡単に覚えることができます。

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2024.11.16