オイラーの微分方程式と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。
この方程式は係数が定数でない２階線形微分方程式の特殊パターンであり、対数をとって変数変換することにより、定数係数に変形できる。
定義
\(y\) が \(x\) の関数であり、 \(a, b\) が定数であるとき
$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ax\frac{dy}{dx}+by=R(x)\tag{1}$$
の形で書ける２階線形微分方程式をオイラーの微分方程式という。
通常、 \(x>0\) や \(x< 0\) などの範囲の指定が与えられる。
解法
\(x>0\) のとき
\(t=\ln x\) （ \(\ln\) は自然対数）、すなわち \(x=e^t\) とおき、定数係数の２階線形微分方程式に帰着させる。
\(t=\ln x\) とおくと、 \(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}=e^{-t}\) より
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{dy}{dt}e^{-t}$$
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt}e^{-t}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}e^{-t}\right)\frac{dt}{dx}$$
$$=\left(\frac{d^2y}{dt^2}e^{-t}-\frac{dy}{dt}e^{-t}\right)e^{-t}=\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)e^{-2t}$$
\((1)\) に代入すると
$$e^{2t}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)e^{-2t}+ae^t\frac{dy}{dt}e^{-t}+by=R(e^t)$$
$$\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)+a\frac{dy}{dt}+by=R(e^t)$$
$$\frac{d^2y}{dt^2}+(a-1)\frac{dy}{dt}+by=R(e^t)$$
となる。あとは２階同次線形微分方程式
または２階非同次線形微分方程式
解けば良い。
\(x< 0\) のとき
\(t=\ln(-x)\) 、すなわち \(x=-e^t\) とおき、定数係数の線形微分方程式に帰着させる。
例題
\(x>0\) のとき、次の微分方程式を解け。
$$x^2y''-5xy'+9y=x\tag{2}$$
\(t=\ln x\) とおくと \(x=e^t\) であり
$$y'=\frac{dy}{dt}e^{-t}$$
$$y''=\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)e^{-2t}$$
なので、 \((2)\) に代入して
$$e^{2t}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)e^{-2t}-5e^t\frac{dy}{dt}e^{-t}+9y=e^t$$
$$\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)-5\frac{dy}{dt}+9y=e^t$$
$$\frac{d^2y}{dt^2}-6\frac{dy}{dt}+9y=e^t\tag{3}$$
特性方程式を \(\lambda^2-6\lambda+9=0\) とおくと
$$(\lambda-3)^2=0$$
より、 \(\lambda=3\) （２重解）となるので、 \((3)\) の余関数は任意定数 \(C_1, C_2\) を用いて
$$y_c(t)=(C_1+C_2t)e^{3t}$$
とおける。特殊解を
$$Y(t)=Ae^t$$
とおくと、
$$Y'(t)=Ae^t$$
$$Y''(t)=Ae^t$$
であり、 \((3)\) に代入して
$$Ae^t-6Ae^t+9Ae^t=e^t$$
$$(4A-1)e^t=0$$
より、 \(A=\frac{1}{4}\) なので、 \(Y(t)=\frac{1}{4}e^t\) 。
よって一般解は
$$y=y_c(t)+Y(t)=(C_1+C_2t)e^{3t}+\frac{1}{4}e^t$$
\(t=\ln x\) を再代入すると
$$y=(C_1+C_2\ln x)e^{3\ln x}+\frac{1}{4}e^{\ln x}$$
$$=(C_1+C_2\ln x)e^{\ln x^3}+\frac{1}{4}e^{\ln x}$$
$$=(C_1+C_2\ln x)x^3+\frac{1}{4}x$$
$$=C_1x^3+C_2x^3\ln x+\frac{1}{4}x$$
微分方程式の解法一覧
その他の微分方程式の解法は、以下の記事を参照のこと。
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