１階線形と呼ばれる微分方程式の解き方について解説します。
その中でも特に非同次形と呼ばれる形では、両辺に適切な式をかけることで、解を直接求めることができます。
両辺にかけるべき式は積分を含み、解法を一般化すると計算式が複雑になってしまうため、例題を通して解く流れを理解することをおすすめします。
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定義
\(y\) を \(x\) の関数とし、 \(P(x)\) と \(Q(x)\) が \(x\) のみからなる関数または定数のとき
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$
の形で書ける微分方程式を１階線形といいます。
なお、 \(Q(x)=0\) のときを同次形、 \(Q(x)\neq 0\) のときを非同次形といいます。
解法
同次形（ \(Q(x)=0\) ）は
$$\frac{dy}{dx}=-P(x)y$$
より変数分離形に等しくなります。
変数分離形の解法は
を参照してください。
非同次形（ \(Q(x)\neq 0\) ）の場合は、両辺に \(\exp\left\{\int P(x)dx\right\}\) を掛けると
$$\exp\left\{\int P(x)dx\right\}\cdot\frac{dy}{dx}+P(x)\exp\left\{\int P(x)dx\right\}\cdot y=Q(x)\exp\left\{\int P(x)dx\right\}$$
より、左辺が
$$\frac{d}{dx}\left[y\exp\left\{\int P(x)dx\right\}\right]$$
に等しくなるため
$$\frac{d}{dx}\left[y\exp\left\{\int P(x)dx\right\}\right]=Q(x)\exp\left\{\int P(x)dx\right\}$$
$$y\exp\left\{\int P(x)dx\right\}=\int\left[Q(x)\exp\left\{\int P(x)dx\right\}\right]dx+C$$
$$y=\exp\left\{\int -P(x)dx\right\}\left(\int\left[Q(x)\exp\left\{\int P(x)dx\right\}\right]dx+C\right)$$
と解けます。ここで、 \(C\) は任意定数です。
実際の手順としては、 \(z=\exp\left\{\int P(x)dx\right\}\) とおくと、これを両辺に掛けることで
$$\frac{d}{dx}(yz)=Q(x)z$$
の形が導かれるので、両辺を積分して
$$yz=\int Q(x)zdx+C$$
$$y=\frac{1}{z}\left\{\int Q(x)zdx+C\right\}$$
とします。
例題
$$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x\ln x$$
\(P(x)=-\frac{1}{x}\) とおいて、
$$\int -\frac{1}{x}dx=-\ln|x|=\ln\left|\frac{1}{x}\right|$$
より、両辺に \(\exp\left\{\ln\left(\frac{1}{x}\right)\right\}=\frac{1}{x}\) を掛けます。
（ \(\exp\left\{\int P(x)dx\right\}\) の計算は、両辺に掛ける値を決める際のあくまで参考です。計算結果に絶対値が付いている場合は、とりあえず絶対値を外した値を両辺に掛けてみます）
$$\frac{1}{x}\left(\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}x\ln x$$
$$\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^2}y=\ln x$$
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}y\right)=\ln x$$
と書けるので、 \(C\) を任意定数として両辺を積分して
$$\frac{y}{x}=\int\ln(x)dx+C$$
$$=\int(x)’\ln(x)dx+C$$
$$=x\ln x-\int x\frac{1}{x}dx+C$$
$$=x\ln x-\int x\frac{1}{x}dx+C$$
$$=x\ln x-\int dx+C$$
$$x\ln x-x+C$$
よって
$$y=x^2\ln x-x^2+Cx$$
微分方程式の解法一覧
その他の微分方程式の解法は、以下の記事を参照してください。
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