ベルヌーイの微分方程式と呼ばれる、次数の大きな変数を持つ微分方程式の解き方について解説する。
この方程式では、大きな次数を消去するように変数変換を行い、１階線形に帰着させることを目標とする。
変数変換を行う際に、逆数を取るような計算をするため、０を場合分けするよう注意する。
定義
\(y\) が \(x\) の関数であるとき、定数 \(k\neq 0,1\) を用いて
$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^k$$
と表せる微分方程式をベルヌーイの微分方程式という。
解法
変数変換により、１階線形に帰着させる。
\(z=y^{1-k}\) とおくと
$$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}$$
$$=(1-k)y^{-k}\frac{dy}{dx}$$
である。
ベルヌーイの微分方程式の両辺に \((1-k)y^{-k}\) を掛けると
$$(1-k)y^{-k}\frac{dy}{dx}+(1-k)y^{-k}P(x)y=(1-k)y^{-k}Q(x)y^k$$
$$(1-k)y^{-k}\frac{dy}{dx}+(1-k)y^{1-k}P(x)=(1-k)Q(x)$$
より、 \(z=y^{1-k}\) による変数変換を行って
$$\frac{dz}{dx}+(1-k)P(x)z=(1-k)Q(x)$$
という１階線形に帰着される。
１階線形微分方程式の解法は
を参照。
例題
$$\frac{dy}{dx}+y=e^xy^2$$
\(z=\frac{1}{y}\) とおくと \(\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{y^2}\) である。
この変数変換を行うことを念頭に、 \(y\neq 0\) として両辺を \(-y^2\) で割って
$$-\frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}=-e^x$$
$$\frac{dz}{dx}-z=-e^x$$
上記の１階線形微分方程式を解くために \(\exp\left\{\int(-1)dx\right\}=e^{-x}\) を両辺に掛けると
$$\frac{dz}{dx}e^{-x}-ze^{-x}=-e^xe^{-x}$$
$$\frac{d}{dx}(ze^{-x})=-1$$
より、 \(C\) を任意定数として両辺を積分して
$$ze^{-x}=\int(-1)dx+C$$
$$ze^{-x}=-x+C$$
$$z=e^x(C-x)$$
\(z=\frac{1}{y}\) を再代入すると
$$\frac{1}{y}=e^x(C-x)$$
$$y=\frac{1}{e^x(C-x)}$$
また、 \(y=0\) も解の１つである。
微分方程式の解法一覧
その他の微分方程式の解法は、以下の記事を参照のこと。
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