数学

独立の正規分布にしたがう確率変数を複数用意し、それらを２乗して足し合わせて新たな確率変数を作ったとき、その変数はカイ二乗分布にしたがう。この記事では、確率変数の変換にともなう確率密度関数の変換公式を出発点にして、平方和とカイ二乗分布の関係を導出する。

定理 \(x\) と \(x'\) が独立に正規分布 \(\mathcal{N}(\mu,\sigma)\) にしたがうとき、定数 \(a,b\) を用いて作られる確率変数 \(ax+bx'\) は、平均 \((a+b)\mu\) 、分散 ...

多重積分の独立した変数が動径としてまとめられるとき、変数を極座標に変換することで、計算を簡略化することができます。具体的には、複数の変数による積分が、１変数の積分と単位球の表面積の積に変換できます。この記事では、変数を極座標に変換する方法と面素を用いて変数をまとめる方法を解説し、最後に極座標変換の性質を応用して、多次元単位球の表面積を導出します。

確率密度関数は積分を用いて確率を表現する方法です。そのため、確率変数を変換した際には置換積分を応用することで、対応する確率密度関数を求めることができます。この記事では、確率密度関数やヤコビアンの性質からスタートし、確率密度関数を変換する公式と考え方について解説します。

陽性・陰性尤度比は、検査の性能を評価する指標です。検査前確率（有病率）と陽性（陰性）尤度比から、検査結果が陽性（陰性）であった場合に実際に病気である確率（検査後確率）を計算することができます。この記事では、陽性尤度比・陰性尤度比を検査後確率の計算に使える理由について、ベイズの定理から導出します。