ベイズの定理に基づく尤度比計算の導出

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とある検査を行う前に「陽性である」と予測される確率のことを検査前確率といい、それに対して、検査結果から判断した予測確率のことを検査後確率という。この検査後確率を求める方法として、検査前確率から検査前オッズを計算し、検査結果が陽性の場合は陽性尤度比、陰性の場合は陰性尤度比を検査前オッズに掛け、その結果得られた検査後オッズから検査後確率を求めるというものがある。これらの指標についての詳細は下の記事を参照のこと。

混同行列の見方とその指標

このように陽性・陰性尤度比を用いて検査後確率を求める計算方法を、この記事では「尤度比計算」と呼称し、以下これが成り立つことを証明する。

記号の意味

この記事では、証明のために以下のような記号を用いる。

  • 大文字のアルファベット:事象を表す(「病気である」など)
  • \(\lnot A\) :事象 \(A\) の否定を表す(「病気である」→「病気でない」など)
  • \(P(A)\) :事象 \(A\) が生じる確率を表す
  • \(P(A|B)\) :事象 \(B\) が生じた状態で事象 \(A\) が生じる条件付き確率を表す

条件付き確率とベイズの定理

尤度比計算の証明

ベイズの定理

尤度比計算は、ベイズの定理

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

に基づいているため、以降の証明ではこの定理を頻繁に使用する。

証明

\(X\) :病気である

\(Y\) :検査陽性である

とおき、まずは検査が陽性の場合の尤度比計算

$$検査後オッズ = 検査前オッズ \times 陽性尤度比 \tag{1}$$

を証明する。ベイズの定理より、以下の2式が成り立つ。

$$P(X|Y) = \frac{P(Y|X)P(X)}{P(Y)} \tag{2}$$

$$P(\lnot X|Y) = \frac{P(Y|\lnot X)P(\lnot X)}{P(Y)} \tag{3}$$

\((2)\) 式の辺々を \((3)\) 式で割ると

$$\frac{P(X|Y)}{P(\lnot X|Y)} = \frac{P(Y|X)P(X)}{P(Y)} \times \frac{P(Y)}{P(Y|\lnot X)P(\lnot X)}$$

$$\frac{P(X|Y)}{P(\lnot X|Y)} = \frac{P(X)}{P(\lnot X)} \times \frac{P(Y|X)}{P(Y|\lnot X)} \tag{4}$$

$$\frac{P(X|Y)}{P(\lnot X|Y)} = \frac{P(X)}{P(\lnot X)} \times \frac{P(Y|X)}{1-P(\lnot Y|\lnot X)} \tag{5}$$

となる。なお、 \((4)\) 式から \((5)\) 式の変換には、一般に \(P(A|B)+P(\lnot A|B)=1\) となることを用いた。ここで、 \((5)\) 式の左辺は検査後オッズを意味し、右辺の1つ目の分数は検査前オッズに相当する。また、 \(P(Y|X)\) は感度、 \(P(\lnot Y|\lnot X)\) は特異度に等しいことを考慮すると、右辺の2つ目の分数は陽性尤度比に相当する。したがって、 \((1)\) 式が導かれた。

検査が陰性の場合は、ベイズの定理より

$$P(X|\lnot Y) = \frac{P(\lnot Y|X)P(X)}{P(\lnot Y)}$$

$$P(\lnot X|\lnot Y) = \frac{P(\lnot Y|\lnot X)P(\lnot X)}{P(\lnot Y)}$$

の2式を立てて同様の計算を行うことで

$$検査後オッズ = 検査前オッズ \times 陰性尤度比$$

が導かれる。

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神経科学を研究している博士学生。Rust, Python, C/C++, Unityを活用して、世界の様々な現象を分析・シミュレートしています。理系分野だけでなく、政治学や社会学も、もちろん分析対象です。

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