標準正規分布の規格化条件から、M次元単位球の表面積を求める

正規分布

$$\mathcal{N}(x|\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\}$$

は様々な特徴を持つ重要な分布であるが、この記事では、 $M$ 個の確率変数 $x_1,x_2,\cdots,x_M$ が独立に標準正規分布に従うときの同時分布が満たす規格化条件

$$\int_{-\infty}^{\infty}(2\pi)^{-\frac{M}{2}}\exp(-\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_M^2}{2})dx_1dx_2\cdots dx_M = 1 \tag{1}$$

より、 $M$ 次元空間における単位球（半径１の球）の表面積を求める方法について解説するとともに、その過程で、直交座標を極座標に変換する際の考え方について、視覚的な理解を提供する。

基本的な方針
直交座標→極座標の変換
1. ３次元直交座標→３次元極座標の変換
2. M次元直交座標→M次元極座標の変換
M次元単位球の表面積
1. 単位球面上の面素
2. 表面積の計算
補足

基本的な方針

$(1)$ 式は、 $x_1,x_2,\cdots,x_M$ の $M$ 次元直交座標によって表現されているが、これを極座標で表現したとき、原点からの距離 $r$ が

$$r^2=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_M^2$$

で表されることを利用すると、被積分関数を $r$ のみの関数とすることができる。そのために、まず、 $(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_M) \to (r,\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{M-1})$ の変数変換について考えよう。

直交座標→極座標の変換

３次元直交座標→３次元極座標の変換

$M$ 次元直交座標→ $M$ 次元極座標の変換を考える前に、３次元の $(x_1,x_2,x_3)\to(r,\theta_1,\theta_2)$ の変換について、図を用いながら視覚的なイメージを示す。

一般に、 $x_1,x_2,x_3$ は以下の関係式に従って、極座標に変換される。

$$x_1 = r\cos{\theta_2}\sin{\theta_1}$$
$$x_2 = r\sin{\theta_2}\sin{\theta_1}$$
$$x_3 = r\cos{\theta_1}$$

この関係式を用いて、例えば $r=3$ に固定して $\theta_1,\theta_2$ を $[0,\frac{\pi}{2}]$ の範囲で動かすと、半径 $3$ の $\frac{1}{8}$ 球を得ることができる。なお、下図では $x_1=X,x_2=Y,x_3=Z$ の対応がある。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

r = 3 # 半径を指定
theta_1_0 = np.linspace(0, np.pi/2, 100) # θ_1は[0,π/2]の値をとる
theta_2_0 = np.linspace(0, np.pi/2, 100) # θ_2は[0,π/2]の値をとる
theta_1, theta_2 = np.meshgrid(theta_1_0, theta_2_0) # ２次元配列に変換
x = np.cos(theta_2)*np.sin(theta_1) * r # xの極座標表示
y = np.sin(theta_2)*np.sin(theta_1) * r # yの極座標表示
z = np.cos(theta_1) * r # zの極座標表示

fig = plt.figure() # 描画領域を作成
ax = fig.add_subplot(111, projection="3d") # 3Dの軸を作成
ax.plot_surface(x,y,z) # 球を３次元空間に表示
plt.xlim([0,3])
plt.ylim([3,0]) # Y軸の表示は初期値とは逆にする
ax.set_zlim([0,3])
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
ax.set_zlabel("Z")
plt.show()

ここで、３次元直交座標において $dx_1dx_2dx_3$ で体積を表すことができた微小領域が、３次元極座標ではどのように表すことができるのかについて考える。３次元極座標における微小領域は、各変数の値を微小量 $dr,d\theta_1,d\theta_2$ だけ動かすことによって表現することができるので、以下の緑色の空間として図示される（製図のためのPythonコードについてはこの記事の最後を参照）。

この図において、円の球の半径の方向が $r$ であり、この $r$ の $XY$ 平面に垂直な平面上での回転が $\theta_1$ 、 $XY$ 平面に平行な平面上での回転が $\theta_2$ である。ここで、上図の緑で示した微小領域において、球に接している面をこの微小領域の「底面」と呼ぶことにすると、微小領域の高さに相当するのは $dr$ であることがわかる。

次に、 $\theta_1$ 方向の回転を図示する。

上図によると、この方向の底面の辺の長さは、弧度法の定義より $rd\theta_1$ と表せる。最後に $\theta_2$ 方向の回転を図示すると下図の青線のようになる。

このとき、 $\theta_2$ 方向の回転における半径（青）は、球の半径（赤）との関係から、 $r,\theta_1$ を用いて $r\sin{\theta_1}$ と表せる。よって、この方向の底面の辺の長さは $r\sin{\theta_1}\cdot d\theta_2$ となる。以上より、極座標における微小領域の体積は

$$dr \cdot rd\theta_1 \cdot r\sin{\theta_1}d\theta_2 = r^2\sin{\theta_1}drd\theta_1d\theta_2$$

と表せる。したがって

$$dx_1dx_2dx_3 = r^2\sin{\theta_1}drd\theta_1d\theta_2$$

が成り立つ。

M次元直交座標→M次元極座標の変換

３次元直交座標→３次元極座標の変換において、微小領域の底面の各辺の長さは

$$\theta_1方向の辺 = rd\theta_1$$
$$\theta_2方向の辺 = r\sin{\theta_1}d\theta_2$$

と表すことができた。この議論を $M$ 次元極座標に適用すると、 $M$ 次元極座標における微小領域の底面の各辺の長さは

$$\theta_1方向の辺 = rd\theta_1$$
$$\theta_2方向の辺 = r\sin{\theta_1}d\theta_2$$
$$\theta_3方向の辺 = r\sin{\theta_1}\sin{\theta_2}d\theta_3$$
$$\vdots$$
$$\theta_{M-1}方向の辺 = r\sin{\theta_1}\sin{\theta_2}\cdots\sin{\theta_{M-2}}d\theta_{M-1}$$

と表すことができる。以上より、微小領域の体積は

$$r^{M-1}(\prod_{i=1}^{M-1}\sin{\theta_i}^{M-i-1})drd\theta_1d\theta_2 \cdots d\theta_{M-1} \tag{2}$$

で表される。したがって

$$dx_1dx_2dx_3 \cdots dx_M = r^{M-1}(\prod_{i=1}^{M-1}\sin{\theta_i}^{M-i-1})drd\theta_1d\theta_2 \cdots d\theta_{M-1} \tag{3}$$

と変換できることがわかる。

M次元単位球の表面積

単位球面上の面素

$dr$ は微小領域の高さに相当するため、$(2)$ 式から $dr$ を除いた

$$r^{M-1}(\prod_{i=1}^{M-1}\sin{\theta_i}^{M-i-1})d\theta_1d\theta_2 \cdots d\theta_{M-1}$$

は微小領域の底面の面積となる。また、 $r=1$ の場合を考えると

$$(\prod_{i=1}^{M-1}\sin{\theta_i}^{M-i-1})d\theta_1d\theta_2 \cdots d\theta_{M-1}$$

となるが、これは $M$ 次元空間の単位球面における微小面積となる。これを $M$ 次元単位球面上の面素と呼び、 $dS_{1,M}$ とおいて $(3)$ 式に代入すると

$$dx_1dx_2dx_3 \cdots dx_M = r^{M-1}drdS_{1,M} \tag{4}$$

が成り立つ。

表面積の計算

さて、ここまで長いこと座標変換について考えてきたが、この記事の主題は標準正規分布の規格化条件からM次元単位球の表面積を求めることであるので、そろそろ冒頭の規格化条件の式に戻る。

$(1)$ 式に $(4)$ 式の結果を代入して変数変換を行うと

$$\int_{R}r^{M-1}(2\pi)^{-\frac{M}{2}}\exp(-\frac{r^2}{2})drdS_{1,M} = 1$$

となる（ただし、Rは適当な積分区間を表す）が、被積分関数は $r$ のみに依存するため、 $r$ についての積分を $S_{1,M}$ についての積分とは独立に行うことができる。すなわち $r$ の積分区間は $[0,\infty)$ であることを考慮すると

$$\int_{0}^{\infty}r^{M-1}(2\pi)^{-\frac{M}{2}}\exp(-\frac{r^2}{2})dr\int dS_{1,M} = 1$$
$$\int dS_{1,M} = \{\int_{0}^{\infty}r^{M-1}(2\pi)^{-\frac{M}{2}}\exp(-\frac{r^2}{2})dr\}^{-1}$$
$$\int dS_{1,M} = 2\pi^{\frac{M}{2}}(\int_{0}^{\infty}(\frac{r^2}{2})^{\frac{M}{2}-1}\exp(-\frac{r^2}{2})dr)^{-1}$$

となる。ここで、左辺は単位球面上の微小領域を全区間で積分したものを表すため、これはすなわち、単位球の表面積 $S_{1,M}$ に等しい。また、右辺に以下の式で定義されるガンマ関数

$$\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$$

を代入すると

$$S_{1,M} = \frac{2\pi^{\frac{M}{2}}}{\Gamma(\frac{M}{2})}$$

より、 $M$ 次元空間における単位球の表面積の公式が得られる。

なお、単位球ではなく半径 $r$ の場合の表面積は

$$S_{1,M}(r) = \frac{2\pi^{\frac{M}{2}}r^{M-1}}{\Gamma(\frac{M}{2})}$$

となる。