数学 | USHITORA Lab.

数学

スポンサーリンク
情報学

情報量の定義とエントロピー

情報理論はその名の通り、情報の数量的構造を論ずる学問である。情報を学問として扱うためには、それを量として表すことができる指標を定義する必要がある。この記事では、情報を量的に扱うための指標である情報量について、それが満足すべき特徴から...
数学

確率変数と確率密度関数

この記事では、確率論で用いられる「確率変数」や「確率密度関数」などの用語について解説する。 確率変数 定義 確率変数とは、確率論において、起こり得る事柄(事象)に割り当てられている数(通常、整数や実数など)を値として取る変数の...
数学

最尤推定法による正規分布へのフィッティング

観測された複数のデータがとある分布に基づいていると仮定して、その分布の形状を決定するパラメータを求める際、最尤推定法という手法がよく用いられる。この記事では、観測された結果が正規分布に従うと仮定した際に、最尤推定法を用いて平均 \(...
数学

1次元正規変数の平方和の分布

定理 \(\mathcal{N}(0,\sigma)\) に独立に従う \(N\) 個の確率変数 \(x_1,x_2,\cdots,x_N\) と定数 \(a>0\) により定義される確率変数 $$u \equiv a(x...
数学

1次元正規分布の1次結合についての公式

定理 \(x\) と \(x'\) が独立に正規分布 \(\mathcal{N}(\mu,\sigma)\) に従うとき、定数 \(a,b\) を用いて作られる確率変数 \(ax+bx'\) は、平均 \((a+b)\mu\) 、分散...
情報学

標準正規分布の規格化条件から、M次元単位球の表面積を求める

正規分布 $$\mathcal{N}(x|\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)\}$$ は様々な特徴...
数学

確率変数の変換に伴う確率密度関数の変換公式

確率密度関数は積分の形で与えられるため、置換積分の考え方を応用することで、確率変数を変更したときの新しい確率密度関数を求めることができる。この記事では、そのような確率密度関数の変換公式について考える。 逆変換が一意...
数学

置換積分における変数変換の考え方

計算の簡略化や理論展開上の都合から、積分計算においては、しばしば変数を変更した置換積分を行うことが多い。とある関係式によって結ばれる変数どうしを入れ替えるためには、どのような操作が必要になるだろうか。この記事では1変数関数の不定積分...
医学

ベイズの定理に基づく尤度比計算の導出

とある検査を行う前に「陽性である」と予測される確率のことを検査前確率といい、それに対して、検査結果から判断した予測確率のことを検査後確率という。この検査後確率を求める方法として、検査前確率から検査前オッズを計算し、検査結果が陽性の場...
数学

条件付き確率とベイズの定理

この記事では「2つの現象が同時に起こる確率」について議論し、その中で現象の独立性と条件付き確率について解説する。これらの議論からは、各種検査や機械学習などにおける確率的推論の基礎となる「ベイズの定理」が導ける。 記号の定義 この...
スポンサーリンク