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確率変数の線形変換

自然科学
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公式

確率変数 \(X\) は確率密度関数 \(f(x)\) にしたがうとする。

線形変換

$$Y=aX+b$$

(ただし、 \(b\neq0\) )を行ったとき、 \(Y\) の確率密度関数 \(g(y)\) は

$$g(y)=\frac{1}{|a|}f\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

と表せる。

証明

\(X\) の累積分布関数を \(F(x)\) とする。すなわち

$$\mathrm{Pr}(X\leq x)=F(x)$$

が成り立つ。( \(\mathrm{Pr}(A)\) は、 \(A\) が生じる確率を表す)

同様に、 \(Y\) について

$$\mathrm{Pr}(Y\leq y)=G(x)\tag{1}$$

となる累積分布関数 \(G(y)\) を考える。

式 \((1)\) の左辺における確率を \(X\) を用いて書き換えると

$$G(y)=\mathrm{Pr}(aX+b\leq y)=\mathrm{Pr}(aX\leq y-b)$$

となる。ここで、

  1. \(a > 0\) のとき

$$G(y)=\mathrm{Pr}\left(X\leq\frac{y-b}{a}\right)=F\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

したがって

$$g(y)=\frac{\partial}{\partial y}G(y)$$

$$=\frac{\partial}{\partial y}F\left(\frac{y-b}{a}\right)=\frac{1}{a}F\left(\frac{y-b}{a}\right)\tag{2}$$

  1. \(a < 0\) のとき

$$G(y)=\mathrm{Pr}\left(X\geq\frac{y-b}{a}\right)=1-F\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

したがって

$$g(y)=\frac{\partial}{\partial y}G(y)$$

$$=\frac{\partial}{\partial y}\left\{1-F\left(\frac{y-b}{a}\right)\right\}=-\frac{1}{a}F\left(\frac{y-b}{a}\right)\tag{3}$$

.

以上、式 \((2),(3)\) を総合して

$$g(y)=\frac{1}{|a|}f\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

参考

より詳しい議論については、以下の記事が参考になる。

確率変数の変換に伴う確率密度関数の変換公式
確率密度関数は積分の形で与えられるため、置換積分の考え方を応用することで、確率変数を変更したときの新しい確率密度関数を求めることができる。この記事では、そのような確率密度関数の変換公式について考える。逆変換...

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