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確率変数の線形変換

自然科学
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公式

確率変数 \(X\) は確率密度関数 \(f(x)\) にしたがうとする。

線形変換

$$Y=aX+b$$

(ただし、 \(b\neq0\) )を行ったとき、 \(Y\) の確率密度関数 \(g(y)\) は

$$g(y)=\frac{1}{|a|}f\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

と表せる。

証明

\(X\) の累積分布関数を \(F(x)\) とする。すなわち

$$\mathrm{Pr}(X\leq x)=F(x)$$

が成り立つ。( \(\mathrm{Pr}(A)\) は、 \(A\) が生じる確率を表す)

同様に、 \(Y\) について

$$\mathrm{Pr}(Y\leq y)=G(x)\tag{1}$$

となる累積分布関数 \(G(y)\) を考える。

式 \((1)\) の左辺における確率を \(X\) を用いて書き換えると

$$G(y)=\mathrm{Pr}(aX+b\leq y)=\mathrm{Pr}(aX\leq y-b)$$

となる。ここで、

  1. \(a > 0\) のとき

$$G(y)=\mathrm{Pr}\left(X\leq\frac{y-b}{a}\right)=F\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

したがって

$$g(y)=\frac{\partial}{\partial y}G(y)$$

$$=\frac{\partial}{\partial y}F\left(\frac{y-b}{a}\right)=\frac{1}{a}F\left(\frac{y-b}{a}\right)\tag{2}$$

  1. \(a < 0\) のとき

$$G(y)=\mathrm{Pr}\left(X\geq\frac{y-b}{a}\right)=1-F\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

したがって

$$g(y)=\frac{\partial}{\partial y}G(y)$$

$$=\frac{\partial}{\partial y}\left\{1-F\left(\frac{y-b}{a}\right)\right\}=-\frac{1}{a}F\left(\frac{y-b}{a}\right)\tag{3}$$

.

以上、式 \((2),(3)\) を総合して

$$g(y)=\frac{1}{|a|}f\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

参考

より詳しい議論については、以下の記事が参考になる。

確率変数の変換に伴う確率密度関数の変換公式
この記事の簡略版線形変換 \(Y=aX+b\) の場合の簡略版はこちら。概要確率密度関数は積分を用いて確率を表現するため、置換積分の考え方を応用することで、確率変数を変更したときの新しい確率密度関数を求めること...

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