確率変数の線形変換

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確率変数の線形変換の公式

確率変数 $X$ は確率密度関数 $f(x)$ にしたがうとします。

確率変数の線形変換

$$Y=aX+b$$

（ただし、 $a\neq0$ ）を行ったとき、 $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ は

$$g(y)=\frac{1}{|a|}f\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

とあらわせます。

$X$ の累積分布関数を $F(x)$ とします。

すなわち

$$\mathrm{Pr}(X\leq x)=F(x)$$

と書けます。（ $\mathrm{Pr}(A)$ は、 $A$ が生じる確率を表す）

同様に、 $Y$ について

$$\mathrm{Pr}(Y\leq y)=G(x)\tag{1}$$

となる累積分布関数 $G(y)$ を考えます。

式 $(1)$ の左辺における確率を $X$ を用いて書き換えると

$$G(y)=\mathrm{Pr}(aX+b\leq y)=\mathrm{Pr}(aX\leq y-b)$$

となります。

ここで、

$$G(y)=\mathrm{Pr}\left(X\leq\frac{y-b}{a}\right)=F\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

したがって

$$g(y)=\frac{\partial}{\partial y}G(y)$$

$$=\frac{\partial}{\partial y}F\left(\frac{y-b}{a}\right)=\frac{1}{a}f\left(\frac{y-b}{a}\right)\tag{2}$$

$$G(y)=\mathrm{Pr}\left(X\geq\frac{y-b}{a}\right)=1-F\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

したがって

$$g(y)=\frac{\partial}{\partial y}G(y)$$

$$=\frac{\partial}{\partial y}\left\{1-F\left(\frac{y-b}{a}\right)\right\}=-\frac{1}{a}f\left(\frac{y-b}{a}\right)\tag{3}$$

以上、式 $(2),(3)$ を総合して

$$g(y)=\frac{1}{|a|}f\left(\frac{y-b}{a}\right)$$

より詳しい議論については、以下の記事が参考になります。