公式
確率変数 \(X\) は確率密度関数 \(f(x)\) にしたがうとする。
線形変換
$$Y=aX+b$$
（ただし、 \(b\neq0\) ）を行ったとき、 \(Y\) の確率密度関数 \(g(y)\) は
$$g(y)=\frac{1}{|a|}f\left(\frac{y-b}{a}\right)$$
と表せる。
証明
\(X\) の累積分布関数を \(F(x)\) とする。すなわち
$$\mathrm{Pr}(X\leq x)=F(x)$$
が成り立つ。（ \(\mathrm{Pr}(A)\) は、 \(A\) が生じる確率を表す）
同様に、 \(Y\) について
$$\mathrm{Pr}(Y\leq y)=G(x)\tag{1}$$
となる累積分布関数 \(G(y)\) を考える。
式 \((1)\) の左辺における確率を \(X\) を用いて書き換えると
$$G(y)=\mathrm{Pr}(aX+b\leq y)=\mathrm{Pr}(aX\leq y-b)$$
となる。ここで、
- \(a > 0\) のとき
$$G(y)=\mathrm{Pr}\left(X\leq\frac{y-b}{a}\right)=F\left(\frac{y-b}{a}\right)$$
したがって
$$g(y)=\frac{\partial}{\partial y}G(y)$$
$$=\frac{\partial}{\partial y}F\left(\frac{y-b}{a}\right)=\frac{1}{a}F\left(\frac{y-b}{a}\right)\tag{2}$$
- \(a < 0\) のとき
$$G(y)=\mathrm{Pr}\left(X\geq\frac{y-b}{a}\right)=1-F\left(\frac{y-b}{a}\right)$$
したがって
$$g(y)=\frac{\partial}{\partial y}G(y)$$
$$=\frac{\partial}{\partial y}\left\{1-F\left(\frac{y-b}{a}\right)\right\}=-\frac{1}{a}F\left(\frac{y-b}{a}\right)\tag{3}$$
.
以上、式 \((2),(3)\) を総合して
$$g(y)=\frac{1}{|a|}f\left(\frac{y-b}{a}\right)$$
参考
より詳しい議論については、以下の記事が参考になる。
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