上極限集合/下極限集合とボレル・カンテリの補題

上極限集合と下極限集合

定義

\(A_{1}, A_{2}, \dots\) を集合の列とする。このとき、上極限集合下極限集合をそれぞれ

$$\lim_{n\to\infty}\sup A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}$$
$$\lim_{n\to\infty}\inf A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}$$

で定義する。

数式による解釈

定義式の各パーツについて、条件式を用いて書き直すと、

$$\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}=\{x\mid\exists l\geq n \quad x\in A_{l}\}$$
$$\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}=\{x\mid\forall l\geq n \quad x\in A_{l}\}$$

であるので、定義式は

$$\lim_{n\to\infty}\sup A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{x\mid\exists l\geq n \quad x\in A_{l}\}$$
$$=\{x\mid\forall m\quad x\in\{x\mid\exists l\geq m \quad x\in A_{l}\}\}$$
$$=\{x\mid\forall m\quad\exists l\geq m \quad x\in A_{l}\}$$
$$\lim_{n\to\infty}\inf A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x\mid\forall l\geq n \quad x\in A_{l}\}$$
$$=\{x\mid\exists m\quad x\in\{x\mid\forall l\geq m \quad x\in A_{l}\}\}$$
$$=\{x\mid\exists m\quad\forall l\geq m \quad x\in A_{l}\}$$

と表すことができる。

言語による解釈

前節の議論により、上極限集合は「どんな\(m\)を取ってきても、それ以上の\(l\)が存在し、\(x\)が\(A_{l}\)に含まれる」、すなわち「\(m\)以上のところに、必ず\(x\)を含む集合\(A_{l}\)が存在する」という\(x\)の集合である。したがって、上極限集合の要素は無限個の\(A_{k}\)に含まれる。

また、下極限集合は「とある\(m\)以上のすべての\(l\)について、\(x\)が\(A_{l}\)に含まれる」という\(x\)の集合である。これは裏返して言えば「\(x\)を含まない集合は最大でも\(A_{m}\)まで」ということであり、したがって、\(x\)を含まない\(A_{k}\)の数は有限個ということになる。

集合の列\(A_{1},A_{2},\dots\)について、上極限集合の元\(x\)について\(x\in A_{k}\)となるとき、\(A_{k}\)を\(T\)、そうでないときは\(F\)と置き換えることにする。このとき、集合の列は

$$TFFTFTT\dots FFT\dots FT\dots$$

のようになる。すなわち、集合の列において、あるところから急にTが出なくなるということはない。

下極限集合についても同様の操作を行うと、

$$TFFTFTT\dots TTT\dots TT\dots$$

のようになる。すなわち、あるところから急にTしか出なくなる。

性質

前節の例で見た通り、上極限集合の元が満たすべき条件は、下極限集合の元のそれよりも緩い。したがって、

$$\lim_{n\to\infty}\sup A_{n}\supset\lim_{n\to\infty}\inf A_{n}$$

の関係が成り立つ。上極限集合と下極限集合が一致するとき、集合列は収束すると言い

$$\lim_{n\to\infty}A_{n}$$

と書くことがある。

集合列が収束する例(単調増大列と単調減少列)

集合の列\(A_{k}\in\mathfrak{B}, k=1,2,\dots,\)において、すべての\(k\)について\(A_{k}\subset A_{k+1}\)が成り立つとき、\(A_{k}\)は単調増大列であると言い、逆にすべての\(k\)について\(A_{k}\supset A_{k+1}\)が成り立つとき、\(A_{k}\)は単調減少列であると言う。

\(A_{k}\)が単調増大列のとき、以下が成り立つ。

$$すべての m (\geq 1)について、\bigcup_{k=m}^{\infty}A_{k}は等しい\tag{1}$$
$$\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}=A_{m}\tag{2}$$

これらを用いると、上極限集合と下極限集合はそれぞれ

$$\lim_{n\to\infty}\sup A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\quad(\because(1))$$
$$\lim_{n\to\infty}\inf A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\quad(\because(2))$$

と表すことができ、互いに等しくなる。したがって、集合列は収束し

$$\limsup_{n\to\infty}A_{n}=\liminf_{n\to\infty}A_{n}=\lim_{n\to\infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\tag{3}$$

が成り立つ。

\(A_{k}\)が単調減少列のとき、\(A_{k}\)の補集合の列\(A_{k}^{c}\)について\(A_{k}^{c}\supset A_{k+1}^{c}\)が成り立ち単調増大列となるので、上の結果から

$$\limsup_{n\to\infty}A_{n}^{c}=\liminf_{n\to\infty}A_{n}^{c}=\lim_{n\to\infty}A_{n}^{c}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}^{c}$$

補集合の列が収束するので、単調減少列も収束し

$$\limsup_{n\to\infty}A_{n}=\liminf_{n\to\infty}A_{n}= \lim_{n\to\infty}A_{n}$$
$$=\left(\lim_{n\to\infty}A_{n}^{c}\right)^{c}=\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}^{c}\right)^{c}=\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}\tag{4}$$

まとめ

上極限集合:「無限個の\(A_{k}\)に含まれる元の集合」
下極限集合:「それを含まない\(A_{k}\)が有限個である元の集合」

ボレル・カンテリの補題

内容

\(\mathfrak{B}\)を可測集合族(確率を定義した事象の集合。元\(A\)は可測集合と呼ばれる)とする。

  1. 事象の列\(A_{n}\in\mathfrak{B}, n=1,2,\dots,\)に対して、\(\sum_{n=1}^{\infty}P(A_{n})<\infty\)ならば、\(P(\limsup_{n\to\infty}A_{n})=0\)となる。
  2. 事象\(A_{1},A_{2},\dots,A_{n},\dots\in\mathfrak{B}\)が独立であるとき、\(\sum_{n=1}^{\infty}P(A_{n})=\infty\)ならば、\(P(\limsup_{n\to\infty}A_{n})=1\)が成り立つ。

意義

\(A_{n}\)は「サイコロを振って、\(n\)回目に\(1\)が出る」という事象であるとし、事象列\(A_{1},A_{2},\dots,\)を考える。前章の解釈より、この事象列の上極限は「サイコロを無限回(\(n\to\infty\))振ると、\(1\)が無限回出る」という事象、下極限は「サイコロを無限回振ると、\(1\)が出ない(\(2,3,4,5,6\)が出る)回数は有限回である」という事象をそれぞれ表す。すると直感的に

$$P(\lim_{n\to\infty}\sup A_{n})=1$$
$$P(\lim_{n\to\infty}\inf A_{n})=0$$

となることが予想されるが、これが実際に満たされるための十分条件を与えるのが、ボレル・カンテリの補題である。

1.の証明

\(B_{n}=\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\)とおくと、\(B_{n}\)は単調減少列となる。上極限集合の定義式と\((4)\)より

$$\lim_{n\to\infty}\sup A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}B_{n}=\lim_{n\to\infty}B_{n}$$

確率の連続性により

$$P(\lim_{n\to\infty}\sup A_{n})=P(\lim_{n\to\infty}B_{n})=\lim_{n\to\infty}P(B_{n})=\lim_{n\to\infty}P\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)$$

ここで、\(P(\bigcup_{k=n}^{\infty})\leq\sum_{k=n}^{\infty}P(A_{k})\)であり、\(\sum_{n=1}^{\infty}P(A_{n})<\infty\)のとき\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{\infty}=0\)となることに注意して変形すると

$$P(\lim_{n\to\infty}\sup A_{n})=\lim_{n\to\infty}P\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{\infty}P(A_{k})=0$$

が成り立つ。

2.の証明

$$(\lim_{n\to\infty}\sup A_{n})^{c}=\lim_{n\to\infty}\inf A_{n}^{c}$$

すなわち

$$\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)^{c}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}$$

であることに注意すると、\(P(\limsup_{n\to\infty}A_{n})=1\)は\(P(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c})=0\)に等しいため、こちらを証明する。まず、

$$P\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\right)=\lim_{m\to\infty}P\left(\bigcap_{k=n}^{m}A_{k}^{c}\right)=\lim_{m\to\infty}\prod_{k=n}^{m}P(A_{k}^{c})=\lim_{m\to\infty}\prod_{k=n}^{m}\left(1-P(A_{k})\right)$$

が成り立つ。ここで、\(x\geq0\)において常に\(1-x\leq e^{-x}\)より

$$\lim_{m\to\infty}\prod_{k=n}^{m}\left(1-P(A_{k})\right)\leq \lim_{m\to\infty}\prod_{k=n}^{m}\exp\left(-P(A_{k})\right)$$
$$=\lim_{m\to\infty}\exp\left(-\sum_{k=n}^{m}P(A_{k})\right)=0\quad(\because\quad 仮定)$$

がすべての\(n\geq1\)について成り立ち、すなわち\(P(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c})=0\)である。ここで、\(B_{n}=\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\)とおくと\(B_{n}\)は単調増大列であり、\((3)\)から

$$\lim_{n\to\infty}B_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}$$

となる。したがって、

$$P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\right)=P\left(\lim_{n\to\infty}B_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}P\left(B_{n}\right)$$
$$=\lim_{n\to\infty}P\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\right)=0$$

「意義」の節で述べたようなサイコロ投げの場合、事象\(A_{1},A_{2},\dots,A_{n},\dots\in\mathfrak{B}\)は独立であり、\(\sum_{n=1}^{\infty}P(A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{6}=\infty\)より、直感通り\(P(\limsup_{n\to\infty}A_{n})=1\)となる。

しかし、\(P(A_{n})=\frac{1}{n^{2}}\)となるような事象を考えた場合、

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}<\infty\quad(\because\quad バーゼル問題)$$

より、\(P(\limsup_{n\to\infty}A_{n})=0\)となる。 すなわち、このような事象は無限回は起こり得ない。

参考文献

  1. 久保川達也「現代数理統計学の基礎(共立講座 数学の魅力11)」共立出版(2017)
  2. 佐藤坦「はじめての確率論 測度から確率へ」共立出版(1994)
  3. 極限集合の解釈(イプシロンデルタ風に) – 岡竜之介のブログ(http://agajo.hatenablog.com/entry/2016/10/15/111717