和事象の確率
定理
事象 \(A, B\) が生じる確率を、それぞれ \(P(A), P(B)\) とおくと、
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\tag{1}$$
が成り立つ。
証明
上図を参照。確率を面積として捉えると、\(A\cup B\) に相当する面積を求めるためには、\(A, B\) の面積を足した後、\(A\cap B\) の面積を引けばよい。
発展
式 \((1)\) より
$$P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)\tag{2}$$
が成り立つ。等号成立は \(A, B\) が排反のとき。なぜならば、\(A\cap B=\emptyset\) より \(P(A\cap B)=0\) 。
和事象の確率の一般化
定理
\(\mathfrak{B}\) を可測集合族とする。事象の列 \(A_{k}\in\mathfrak{B}, k=1,2,\ldots,\) に対して、
$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}P(A_{k})$$
が成り立つ。
証明
式 \((2)\) を繰り返し用いることで、\(P(\cup_{k=1}^{n}A_{k})\leq\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})\) が得られる。
\(B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\) とおくと、\(B_{n}\) は単調増大列となる。単調増大列とその性質については
を参照。上記事の、確率の連続性に関する定理を用いると
$$P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}P(B_{n})=\lim_{n\to\infty}P\left(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right)\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})=\sum_{k=1}^{\infty}P(A_{k})$$
が導かれる。ここで、\(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\) が成り立つことから、これを代入して
$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}P(A_{k})$$
となる。
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