和事象の確率とその一般化

和事象の確率

事象 \(A, B\) が生じる確率を、それぞれ \(P(A), P(B)\) とおくと、

が成り立つ。

上図を参照。確率を面積として捉えると、\(A\cup B\) に相当する面積を求めるためには、\(A, B\) の面積を足した後、\(A\cap B\) の面積を引けばよい。

式 \((1)\) より

が成り立つ。等号成立は \(A, B\) が排反のとき。なぜならば、\(A\cap B=\emptyset\) より \(P(A\cap B)=0\) 。

\(\mathfrak{B}\) を可測集合族とする。事象の列 \(A_{k}\in\mathfrak{B}, k=1,2,\ldots,\) に対して、

が成り立つ。

式 \((2)\) を繰り返し用いることで、\(P(\cup_{k=1}^{n}A_{k})\leq\sum_{k=1}^{n}P(A_{k})\) が得られる。

\(B_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\) とおくと、\(B_{n}\) は単調増大列となる。単調増大列とその性質については

を参照。上記事の、確率の連続性に関する定理を用いると

が導かれる。ここで、\(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\) が成り立つことから、これを代入して

となる。