単調増大・減少列と確率の連続性

定義
性質
定理
証明
定理の解釈と確率の連続性

定義

$\mathfrak{B}$ を可測集合族とする。事象の列 $A_{k}\in\mathfrak{B},\quad k=1,2,\ldots,$ について、$A_{k}$ が $A_{k}\subset A_{k+1}$ をみたすとき単調増大列といい、逆に $A_{k}\supset A_{k+1}$ をみたすとき単調減少列という。

性質

$A_{k}\in\mathfrak{B}$ が単調増大列のとき、以下が成り立つ。

$$すべての m (\geq 1)について、\bigcup_{k=m}^{\infty}A_{k}は等しい\tag{1}$$
$$\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}=A_{m}\tag{2}$$

同様に、単調減少列のときは以下が成り立つ。

$$すべての m (\geq 1)について、\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}は等しい\tag{3}$$
$$\bigcup_{k=m}^{\infty}A_{k}=A_{m}\tag{4}$$

定理

事象の列 $A_{k}\in\mathfrak{B},\quad k=1,2,\ldots,$ が単調増大列のとき、

$$P(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k})=\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k})$$

が成り立つ。同様に、

事象の列 $A_{k}\in\mathfrak{B},\quad k=1,2,\ldots,$ が単調減少列のとき、

$$P(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})=\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k})$$

が成り立つ。

証明

事象の列 $A_{k}\in\mathfrak{B},\quad k=1,2,\ldots,$ が単調増大列の場合を考える。$B_{1}=A_{1}, \quad B_{k}=A_{k}\cap A_{k-1}^{c}, k=2,3,\ldots,$ とおく。$A^{c}$ は $A$ の補集合である。$B_{k}, k=1,2,\ldots,$ は互いに排反なので

$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}P(B_{k})\tag{5}$$

となる（ $\because A\cap B=\emptyset$ のとき $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ の一般化）。ここで明らかに $\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$ であり、また $A_{k}$ は単調増加列であるから

$$\sum_{k=1}^{n}P(B_{k})=P(A_{1})+\sum_{k=2}^{n}\{P(A_{k})-P(A_{k-1})\}=P(A_{n})$$

と計算できる。したがって、式 $(5)$ より

$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}P(B_{k})$$
$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}P(B_{k})$$
$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}P(A_{n})$$

が成り立つ。$A_{k}\in\mathfrak{B}$ が単調減少列のとき、$A_{k}^{c}\in\mathfrak{B}$ は単調増大列より $P(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c})=\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k}^{c})$ となるので

$$P\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)=P\left(\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c}\right)^{c}\right)=1-P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c}\right)$$
$$=1-\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k}^{c})=\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k})$$

が導かれる。