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単調増大・減少列と確率の連続性

自然科学
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定義

\(\mathfrak{B}\) を可測集合族とする。事象の列 \(A_{k}\in\mathfrak{B},\quad k=1,2,\ldots,\) について、\(A_{k}\) が \(A_{k}\subset A_{k+1}\) をみたすとき単調増大列といい、逆に \(A_{k}\supset A_{k+1}\) をみたすとき単調減少列という。

性質

\(A_{k}\in\mathfrak{B}\) が単調増大列のとき、以下が成り立つ。

$$すべての m (\geq 1)について、\bigcup_{k=m}^{\infty}A_{k}は等しい\tag{1}$$
$$\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}=A_{m}\tag{2}$$

同様に、単調減少列のときは以下が成り立つ。

$$すべての m (\geq 1)について、\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}は等しい\tag{3}$$
$$\bigcup_{k=m}^{\infty}A_{k}=A_{m}\tag{4}$$

定理

事象の列 \(A_{k}\in\mathfrak{B},\quad k=1,2,\ldots,\) が単調増大列のとき、

$$P(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k})=\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k})$$

が成り立つ。同様に、

事象の列 \(A_{k}\in\mathfrak{B},\quad k=1,2,\ldots,\) が単調減少列のとき、

$$P(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k})=\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k})$$

が成り立つ。

証明

事象の列 \(A_{k}\in\mathfrak{B},\quad k=1,2,\ldots,\) が単調増大列の場合を考える。\(B_{1}=A_{1}, \quad B_{k}=A_{k}\cap A_{k-1}^{c}, k=2,3,\ldots,\) とおく。\(A^{c}\) は \(A\) の補集合である。\(B_{k}, k=1,2,\ldots,\) は互いに排反なので

$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}P(B_{k})\tag{5}$$

となる( \(\because A\cap B=\emptyset\) のとき \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) の一般化)。ここで明らかに \(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\) であり、また \(A_{k}\) は単調増加列であるから

$$\sum_{k=1}^{n}P(B_{k})=P(A_{1})+\sum_{k=2}^{n}\{P(A_{k})-P(A_{k-1})\}=P(A_{n})$$

と計算できる。したがって、式 \((5)\) より

$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)=\sum_{k=1}^{\infty}P(B_{k})$$
$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}P(B_{k})$$
$$P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}P(A_{n})$$

が成り立つ。\(A_{k}\in\mathfrak{B}\) が単調減少列のとき、\(A_{k}^{c}\in\mathfrak{B}\) は単調増大列より \(P(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c})=\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k}^{c})\) となるので

$$P\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)=P\left(\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c}\right)^{c}\right)=1-P\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c}\right)$$
$$=1-\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k}^{c})=\lim_{k\rightarrow\infty}P(A_{k})$$

が導かれる。

定理の解釈と確率の連続性

単調増大列と単調減少列では集合列は収束する。詳細は

を参照。\(A_{k}\in\mathfrak{B}\) が単調増大列のとき

$$\lim_{k\to\infty}A_{k}=\limsup_{k\to\infty}A_{k}=\liminf_{k\to\infty}A_{k}=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}$$

であり、単調減少列のときは

$$\lim_{k\to\infty}A_{k}=\limsup_{k\to\infty}A_{k}=\liminf_{k\to\infty}A_{k}=\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}$$

となる。これらを用いると、定理は単調増大・減少列の場合ともに

$$P(\lim_{k\to\infty}A_{k})=\lim_{k\to\infty}P(A_{k})$$

と書ける。これを確率の連続性という。

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