statistics

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確率・統計

同一の分布にしたがう確率変数の最大値の分布

動機 乱数をたくさん発生させたとき、その最大値はどんなふうに分布することになるのか気になった。 問題 確率密度関数 \(f\) にしたがう連続確率変数 \(X\) を考える。独立に \(n\) 個のサンプルを発生させ、その最大値を \(Y\...
確率・統計

(補足)サンプルサイズが大きいことの何が問題か?

概要 先日、上の記事の中で、「サンプルサイズは小さすぎても大きすぎてもいけない」という説明をした。とはいえ、サンプルサイズが小さすぎる場合に検定がうまくいかないのは直感に沿うが、大きすぎる場合の問題点は少しわかりにくいかもしれない。それを補...
確率・統計

一般の和事象の確率―その証明と極限

2つの事象のどちらか一方、または両方が起こることを和事象(AまたはB)といいます。この記事では、ベン図を用いて和事象の確率を計算する方法について解説し、それぞれの事象の確率の和との関係について、一般の場合と極限を考えます。
確率・統計

単調増大列・単調減少列の定義と性質【確率の連続性を導くために】

事象の列を構成する要素が互いに包含関係にあるとき、その方向によって単調増大列または単調減少列と呼ばれます。この記事では、単調増大列と単調減少列の定義と性質を解説し、これらが収束することに基づいて確率の連続性という性質を証明します。確率の連続性は、無限回の試行についての確率を考えるための重要な関係式を導きます。
確率・統計

Kendall 順位相関係数の確率分布を導出する―演習問題解答

問題 $$f^{(n)}\equiv(x^{-1}+x^{1})(x^{-2}+1+x^{2})\ldots(x^{-(n-1)}+x^{-(n-3)}+\ldots+x^{n-3}+x^{n-1})\tag{1}$$ とおく。 \(x\)...
確率・統計

Kendall 順位相関係数の確率分布を導出する

概要 この記事では、Kendall 順位相関係数を用いて計算した統計量が、標準正規分布にしたがうことの証明を行う。 Kendall 順位相関係数の定義については を参照のこと。 命題 Kendall 順位相関係数 \(\tau\) を用いて...
確率・統計

Kendall 順位相関係数の定義と確率分布

この記事では、2配列の順序の相関を表す指標である、Kendall 順位相関係数について解説する。 まず、同義の Kendall の \(\tau\) (タウ)を最も簡単な形式で定義した後、2配列間の相関係数としてそれを拡張する。 また、この...
確率・統計

検出力に基づくサンプルサイズの決定(優越性/非劣性/同等性試験)

概要 この記事では、臨床試験等で優越性・非劣性・同等性の検証を行う際に、必要なサンプル数を計算する手法について解説する。サンプルサイズは、検出したい平均差と標準偏差を設定し、試験実施者が望む検出力の強度を与えることによって算出できる。最後に...
確率・統計

上極限集合/下極限集合とボレル・カンテリの補題【無限回試行の確率】

上極限集合と下極限集合を定義し、ボレル・カンテリの補題を導きます。これらは式にすると複雑に見えますが、ことばで表現すると簡単に理解することができます。とくにボレル・カンテリの補題は、無限回の試行に対する確率について、私たちの直観にあう解釈を成り立たせるための、基礎的な条件を述べたものに過ぎません。