一様分布の定義・性質とその証明

定義

連続変数 $x$ が、有限区間 $x\in[a,b]$ で一様分布する場合、その確率密度関数 $p(x)$ は

$$p(x)=\frac{1}{b-a}$$

で定義される。

より一般に、分布が一様分布であることを明示して

$$p(x)=U(x|a,b)=\frac{1}{b-a}$$

とも書かれる。

$$\mathbb{E}[x]=\frac{(b+a)}{2}$$

$$\mathrm{var}[x]=\frac{(b-a)^{2}}{12}$$

$$\mathrm{H}[x]=\ln{(b-a)}$$

$$\mathbb{E}[x]=\int_{a}^{b}\frac{x}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{x^{2}}\right]_{a}^{b}$$

$$=\frac{b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}=\frac{(b+a)}{2}$$

$$\mathrm{var}[x]=\mathbb{E}[x^{2}]-(\mathbb{E}[x])^{2}=\int_{a}^{b}\frac{x^{2}}{b-a}dx-\left(\frac{(b+a)}{2}\right)^{2}$$

$$=\frac{b^{3}-a^{3}}{3(b-a)}-\frac{(b+a)^{2}}{4}=\frac{b^{2}+ba+a^{2}}{3}-\frac{(b+a)^{2}}{4}=\frac{(b-a)^{2}}{12}$$

$$\mathrm{H}[x]=-\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}\ln{\frac{1}{b-a}}dx=\frac{1}{b-a}\ln{(b-a)}\int_{a}^{b}dx$$

$$=\left\{\frac{1}{b-a}\ln{(b-a)}\right\}(b-a)=\ln{(b-a)}$$

変数 $x$ の分布が $U(x|0,1)$ であるとき、変数 $y=a+(b-a)x$ の分布は

$$U(y|a,b)$$

となる。

上記の定理は、区間 $y\in[a,b]$ を内分する点 $y$ に関する性質を表している。

$y=a+(b-a)x=(1-x)a+bx$ を図示すると、以下のような関係になる。

（上図では、内分をベクトル的にとらえやすくするため、本来数直線上にある原点を外部に置いた。内分点のベクトル表現については、各種高校数学の教科書を参照）

したがって、区間 $y\in[a,b]$ を内分する点 $y$ の一様分布を考える問題は、点 $a$ からの距離の割合 $x$ を $x\in[0,1]$ の範囲で一様分布させることに帰着できる。

定義式より、区間 $x\in[0,1]$ の一様分布は

$$p(x)=1\left(=\frac{1}{1-0}\right)$$

で表される。

しかし、これはあくまで確率密度関数についての表現であり、「確率変数が、とある $x$ の値をとる確率が１（100％）」の意味ではないことに注意せよ。

実際、

$$\int_{0}^{1}p(x)dx=\int_{0}^{1}1dx=[x]_{0}^{1}=1-0=1$$

が成り立つ。

確率変数と確率密度関数については

を参照のこと。