この記事は

Pythonの環境によっては、pipを用いたGeoPandasのインストールに失敗するみたいです。
私は失敗しました。
というわけで、解決策を記録しておきます。
（この記事では、GeoPandasのインストール中にFiona関連のエラーが生じた場合の対処法について述べています。）

内容

Python環境

今回の手順では、Python 3.7.5を使用しています。基本的に3.7系なら動きますので、Pythonのインストールがまだの場合は、こちらからインストールしてください。
https://www.python.org/downloads/release/python-375/

※別の系のPythonでも、多分、インストールに用いるファイル名の「37」という部分をバージョンに合わせて変更すればOKだと思います。

また、同時にpipのインストールもお願いします。
https://qiita.com/suzuki_y/items/3261ffa9b67410803443

GeoPandasのインストールに必要なもの

このページを見ているということは、一度GeoPandasのインストールに失敗していると思います。
その際、Fionaというモジュールについてのエラーメッセージが出たのではないでしょうか？
（もしそうでなければ、このページの内容では解決できないかもしれません）

GeoPandasにはFionaが必要で、これが無いとインストールに失敗します。
そして、FionaにはGDALというモジュールが必要なので、これが無いとFionaのインストールにも失敗します。

というわけで、

GDAL
↓
Fiona
↓
GeoPandas

の順にインストールしていきましょう。
ただし、このインストールはpipからではうまくいきません。

GDALのインストール

以下のサイトから、GDAL‑3.2.3‑cp37‑cp37m‑win_amd64.whlをダウンロードしてください（32bit PCの場合はGDAL‑3.2.3‑cp37‑cp37m‑win32.whl）。「3.2.3」の部分は変更されるかもしれません。
https://www.lfd.uci.edu/~gohlke/pythonlibs/#gdal

ファイルを適当なフォルダに置き、以下のコマンドでインストールします。

python -m pip install c:/python/codes/geo/GDAL-3.2.3-cp37-cp37m-win_amd64.whl

ここでは、C:/python/codes/geoにファイルを置いています。

Fionaのインストール

GDALと同様に、以下のサイト（GDALと同じページです）から、Fiona‑1.8.19‑cp37‑cp37m‑win_amd64.whlをダウンロードしてください（32bit PCの場合はFiona‑1.8.19‑cp37‑cp37m‑win32.whl）。「1.8.19」の部分は変更されるかもしれません。
https://www.lfd.uci.edu/~gohlke/pythonlibs/#fiona

ファイルをGDALと同じフォルダに置き、以下のコマンドでインストールします。

python -m pip install c:/python/codes/geo/Fiona-1.8.19-cp37-cp37m-win_amd64.whl

GeoPandasのインストール

以上で準備が整いました。

pip install geopandas

でGeoPandasがインストールできるはずです。

（おまけ）Jupyterのインストール

GeoPandasを用いた分析には、Jupyter Notebookを用いるのが便利です。

pip install jupyter

でインストールしておきましょう。
分析を行いたいフォルダに移動し、

jupyter notebook

で起動できます。

（追記）Rtreeのインストール

GeoPandasを使っていく中で、Rtreeというモジュールが必要になるかもしれません。
私はなりました。
しかし、これもpipではうまくいかないので、FionaやGDALと同じサイトを利用します。
Rtree-0.9.7‑cp37‑cp37m‑win_amd64.whlをダウンロードしてください（32bit PCの場合はRtree-0.9.7‑cp37‑cp37m‑win32.whl）。「0.9.7」の部分は変更されるかもしれません。
https://www.lfd.uci.edu/~gohlke/pythonlibs/#rtree

ファイルをGDAL/Fionaと同じフォルダに置き、以下のコマンドでインストールします。

python -m pip install c:/python/codes/geo/Rtree-0.9.7‑cp37‑cp37m‑win_amd64.whl