自然科学PRML10章正誤表（10.7.1 例：雑音データ問題）
この記事では、「C.M.ビショップ『パターン認識と機械学習（下）ベイズ理論による統計的予測』（2012）丸善出版」（通称：PRML）における式の修正を行う。 なお、筆者はPRMLは初版第10刷（2018）を用い、修正内容は ...
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自然科学
自然科学一様分布の定義・性質とその証明
定義 連続変数 \(x\) が、有限区間 \(x\in\) で一様分布する場合、その確率密度関数 \(p(x)\) は$$p(x)=\frac{1}{b-a}$$で定義される。より一般に、分布が一様分布であることを明示して$$p(x...
自然科学定積分を微分する公式とその証明
公式 \(f(t)\) を \(t\) に関する１変数関数、\(p(x), q(x)\) をそれぞれ \(x\) に関する１変数関数とすると$$\frac{d}{dx}\int_{p(x)}^{q(x)}f(t)dt=f(q(x))...
自然科学最尤推定法による多次元正規分布へのフィッティング
１次元の場合と同様に、対数尤度関数の微分を\(0\)とおくことで、多次元正規分布（多次元ガウス分布）にデータをフィットさせる。 定義 多次元正規分布$$\mathcal{N}({\bf x}|{\boldsymbo...
自然科学PRML 付録C 行列式の対数の微分の証明
問題 を証明せよ。ただし、 を用いてよい。ここで、\(\lambda_{i}, \mathbf{u}_{i}\) はそれぞれ、行列 \(\mathbf{A}\) の \(i\) 番目の固有値と固有ベクトルを表す。 ...
自然科学上極限集合/下極限集合とボレル・カンテリの補題
上極限集合と下極限集合 定義 \(A_{1}, A_{2}, \dots\) を集合の列とする。このとき、上極限集合と下極限集合をそれぞれ で定義する。 数式による解釈 定義式の各パーツについて、条件式を...
自然科学複素数の指数関数・対数関数・べき乗と、その微分公式
以下、特に断りなく、複素数 \(z\) について とおき、\(z\) の実部を \(x\) 、虚部を \(y\) で表す。 指数関数 定義 性質 定義式の形状より、指数関数は \(y\) 方向（虚軸方...
自然科学ルジャンドル多項式の定義と性質（3/3）
定義 で定義された関数 \(P_{n}(x)\) を、ルジャンドル（Legendre）多項式という。また、ルジャンドル多項式は、以下のテイラー級数 の係数として定義することもできる。 性質 ルジャンドル多項...
自然科学ルジャンドル多項式の定義と性質（2/3）
定義 で定義された関数 \(P_{n}(x)\) を、ルジャンドル（Legendre）多項式という。また、ルジャンドル多項式は、以下のテイラー級数 の係数として定義することもできる。 性質 ルジャンドル多項...
自然科学ルジャンドル多項式の定義と性質（1/3）
定義 で定義された関数 \(P_{n}(x)\) を、ルジャンドル（Legendre）多項式という。また、ルジャンドル多項式は、以下のテイラー級数 の係数として定義することもできる。 性質 ルジャンドル多項...