確率・統計確率変数の列の収束とスラツキーの定理
概要 この記事では、確率変数の列の収束の概念を、確率収束と分布収束の２様式から説明する。 また、それらがみたす関係について紹介し、そこから派生したスラツキーの定理についても取り扱う。 最後に、それぞれの公式・定理についての証明を付した。 表...
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確率・統計
確率・統計一般の順序統計量の確率分布
概要 この記事では順序統計量を定義し、その値がしたがう分布を導出する。 順序統計量の定義 同一の確率密度関数 \(f(x)\) から独立に得られた確率変数の組 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) を考える。 これらを小さいもの順に...
確率・統計超幾何分布に基づく集合の類似度指標
概要 ２集合の類似度を測る指標として、Jaccard係数などの手法が知られている。 しかし、２集合の要素となりうる全要素の数と２集合の要素数が所与の場合には、これらの値に依存して、２集合が共通要素を持つ確率が大きく変動する。 この変動を補正...
確率・統計超幾何分布の効率的数値計算法
概要 超幾何分布の確率質量関数は $$P(x|N,K,n)=\frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$ であり、これをすべての \(x\) について計算することによって累積分布関数...
確率・統計超幾何分布の性質と近似―二項分布とポワソン分布との関係
概要 この記事では、超幾何分布の性質について簡単に説明した後、特定の条件下で、超幾何分布が二項分布、そしてポワソン分布に近似されることを示す。 超幾何分布 全 \(N\) 個のうち、 \(K\) 個が「成功」（赤玉・白玉などで考えて良い）で...
確率・統計ポワソン分布の意味―二項分布からの導出
概要 ポワソン分布は「所与の時間内での事象の生起回数の確率分布」として広く使われる分布である。 この記事の目的は、ポワソン分布を二項分布から導出することによって、この分布の意味するところを実感することである。 二項分布 確率 \(p\) で...
数学部分積分の導出
概要 部分積分の公式が永遠に覚えられないので、合成関数の微分公式から導出してしまおうという話です。 公式 部分積分 $$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)dx$$ ただし、 \(f(x)=F'(x...
数学Properな複素確率変数の意味
概要 この記事では、複素確率変数における"Proper"とは何かについて、その定義と性質を見ていく。 なお、複素確率変数については以下を参照のこと。 Properとは 定義 複素確率変数 \(Z\) が以下の条件をすべて満たすとき、 \(Z...
確率・統計確率変数の線形変換
確率変数の線形変換の公式 確率変数 \(X\) は確率密度関数 \(f(x)\) にしたがうとします。 確率変数の線形変換 $$Y=aX+b$$ （ただし、 \(a\neq0\) ）を行ったとき、 \(Y\) の確率密度関数 \(g(y)\...
確率・統計複素確率変数の性質
概要 複素確率変数はその名の通り、複素数の形態をとる確率変数のことである。 複素数が \(z=a+ib\) の形で表されることを考慮すれば、複素確率変数は実数の確率変数の組 \((a, b)\) として考えることができ、多次元確率変数の知見...