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微分方程式の解法

【微分方程式の解法8】定数係数n階線形

定数係数n階線形微分方程式と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。定数係数2階線形方程式が2次の特性方程式の解の種類に基づいて一般解の形状を決定するのと同様に、n階線形の場合はn次の特性方程式を用いる。n次の場合も、特性方程式の解と微分方程式の一般解についての基本的な考え方には、「特性方程式の意味・なぜ作るのか」の内容をそのまま適用できる。
微分方程式の解法

【微分方程式の解法7】オイラーの微分方程式

オイラーの微分方程式と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。この方程式は係数が定数でない2階線形微分方程式の特殊パターンであり、対数をとって変数変換することにより、定数係数に変形できる。
微分方程式の解法

【微分方程式の解法6】定数係数2階非同次線形

定数係数2階非同次線形と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。この形は、同じ定数係数2階微分方程式の「同次形」にxの多項式が加わったものである。一般解はこれを反映し、同次形の一般解(余関数)と特殊解の和によって表される。
微分方程式の解法

【微分方程式の解法2】1階同次形

1階同次形と呼ばれる微分方程式の解き方について解説する。登場する変数の次数が等しいため、それらを分数の形にして新たな変数へと変換し、変数分離型へ帰着させることを基本方針とする。その際、分母になる変数が0となる場合を考慮し、場合分けして計算するよう注意する。
微分方程式の解法

【微分方程式の解法1】変数分離形

変数分離形と呼ばれる微分方程式の解き方について解説します。これは微分方程式の解法としてもっとも基本的なものであり、より複雑な微分方程式の解法も、式変形によりこの形に帰着させることを目標としているため、確実に習得しておきたい考え方です。
Python

線形カルマンフィルタのアルゴリズムと実装(観測値が1次元の場合)

観測値が1次元の場合の線形カルマンフィルタのアルゴリズムについて解説し、マイコン等でセンサの計測値を補正する際の実装方法についてシミュレーションを行う。この記事を読むことでセンサ補正機能の実装方法と考え方を理解することができる。
制御工学

初期値の定理と最終値の定理

概要 制御工学の分野で用いられる、初期値の定理と最終値の定理について解説し、その実例と証明を示す。 定理 記号の定義 \(f(t)\) :原関数 \(f'(t)\) : \(f(t)\) の1回微分 \(F(s)=\mathfrak{L}\...
物理学

非等速円運動の落下点の角度は、発射点の角度の3倍になる

概要 実は一般にこれ成り立ちます pic.twitter.com/xpSUrF0cFX— ハクリュー (@hakuryu27071454) February 27, 2023 こちらのツイートを拝見し、自力で証明してみたくなったので、その結...
確率・統計

多次元正規分布で逆行列を計算したくない!

概要 本記事では、コレスキー分解を用いて適切な変数変換を行うことで、多次元正規分布の確率密度関数に含まれる分散共分散行列の逆行列の数値計算を回避する方法について述べる。 多次元正規分布 \(M\) 次元正規分布の確率密度関数 $$\math...
クオータニオンによる回転表現

クオータニオンの微分の解説と導出

概要 この記事では、クオータニオンの微分を式と行列の形式で導出する。 その際、以下の記事で述べた内容を前提とするため、適宜参照されたい。 クオータニオンの時間変化 3次元空間での回転を表現する、時間依存のクオータニオン \(\mathbf{...