p.53の内容は、\(e^{tA}e^{tB}=e^{Z(A,B;t)}\)を満たす\(Z(A,B;t)\)の一般的な計算（ただし、\(Z(A,B;t)=\sum_{k=0}^\infty Z_kt^k\)）である。
\(Z_3, Z_4\)の計算において、18行目の式が
$$4Z_4+[Z_1,Z_2]+\frac{1}{6}[Z_1,[Z_1,Z_2]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$
となっているが、式(3.11)
$$\frac{\sum_{k=0}^\infty ([Z(A,B;t),)^kZ'(A,B;t)}{(k+1)!}=A+e^{t[A,}B$$
における左辺の分子の\(k=0,k=1,k=2\)における展開式と、左辺の分母\((k+1)!\)を考え合わせると、18行目の式は
$$4Z_4+[Z_1,Z_3]+\frac{1}{6}[Z_1,[Z_1,Z_2]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$
が正しい。実際に、
$$Z_1=A+B$$
$$Z_2=\frac{1}{2}[A,B]$$
$$Z_3=\frac{1}{12}([A,[A,B]]+[B,[B,A]])$$
を代入すると、
①左辺第２項
$$[A+B,\frac{1}{12}([A,[A,B]]+[B,[B,A]])]$$
$$=\frac{1}{12}[A+B,([A,[A,B]]+[B,[B,A]])]$$
$$=\frac{1}{12}[A+B,([A,[A,B]]-[B,[A,B]])]$$
$$=\frac{1}{12}[A+B,[A-B,[A,B]]]$$
②左辺第３項
$$\frac{1}{6}[A+B,[A+B,\frac{1}{2}[A,B]]]$$
$$=\frac{1}{12}[A+B,[A+B,[A,B]]]$$
より、
$$4Z_4+\frac{1}{12}[A+B,[A-B,[A,B]]]+\frac{1}{12}[A+B,[A+B,[A,B]]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$
$$4Z_4+\frac{1}{12}[A+B,[A-B,[A,B]]+[A+B,[A,B]]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$
$$4Z_4+\frac{1}{12}[A+B,[2A[A,B]]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$
$$4Z_4+\frac{1}{6}[A+B,[A[A,B]]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$
$$4Z_4=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]-\frac{1}{6}[A+B,[A[A,B]]]$$
$$4Z_4=\frac{1}{6}[-B,[A,[A,B]]]$$
$$4Z_4=\frac{1}{6}[[A,[A,B]],B]$$
$$4Z_4=\frac{1}{6}[[A,-[B,A]],B]$$
$$4Z_4=\frac{1}{6}[[[B,A],A],B]$$
$$Z_4=\frac{1}{24}[[[B,A],A],B]$$
となり、20行目の結果と一致する。なお、以上の計算で用いた関係式は、
- \([A,B]=-[B,A]\)
- \([cA,dB]=cd[A,B]\)（ただし、c, dは実数）
- \([A,B]+[A,C]=[A,B+C]\)
である。
【参考文献】
- 中原幹夫「量子物理学のための線形代数 ＝ベクトルから量子情報へ」(2016)培風館.
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