中原幹夫「量子物理学のための線形代数 =ベクトルから量子情報へ」p.53 ベイカー-キャンベル‐ハウスドルフの公式の応用について

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p.53の内容は、\(e^{tA}e^{tB}=e^{Z(A,B;t)}\)を満たす\(Z(A,B;t)\)の一般的な計算(ただし、\(Z(A,B;t)=\sum_{k=0}^\infty Z_kt^k\))である。

\(Z_3, Z_4\)の計算において、18行目の式が

$$4Z_4+[Z_1,Z_2]+\frac{1}{6}[Z_1,[Z_1,Z_2]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$

となっているが、式(3.11)

$$\frac{\sum_{k=0}^\infty ([Z(A,B;t),)^kZ'(A,B;t)}{(k+1)!}=A+e^{t[A,}B$$

における左辺の分子の\(k=0,k=1,k=2\)における展開式と、左辺の分母\((k+1)!\)を考え合わせると、18行目の式は

$$4Z_4+[Z_1,Z_3]+\frac{1}{6}[Z_1,[Z_1,Z_2]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$

が正しい。実際に、

$$Z_1=A+B$$

$$Z_2=\frac{1}{2}[A,B]$$

$$Z_3=\frac{1}{12}([A,[A,B]]+[B,[B,A]])$$

を代入すると、

①左辺第2項

$$[A+B,\frac{1}{12}([A,[A,B]]+[B,[B,A]])]$$

$$=\frac{1}{12}[A+B,([A,[A,B]]+[B,[B,A]])]$$

$$=\frac{1}{12}[A+B,([A,[A,B]]-[B,[A,B]])]$$

$$=\frac{1}{12}[A+B,[A-B,[A,B]]]$$

②左辺第3項

$$\frac{1}{6}[A+B,[A+B,\frac{1}{2}[A,B]]]$$

$$=\frac{1}{12}[A+B,[A+B,[A,B]]]$$

より、

$$4Z_4+\frac{1}{12}[A+B,[A-B,[A,B]]]+\frac{1}{12}[A+B,[A+B,[A,B]]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$

$$4Z_4+\frac{1}{12}[A+B,[A-B,[A,B]]+[A+B,[A,B]]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$

$$4Z_4+\frac{1}{12}[A+B,[2A[A,B]]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$

$$4Z_4+\frac{1}{6}[A+B,[A[A,B]]]=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]$$

$$4Z_4=\frac{1}{6}[A,[A,[A,B]]]-\frac{1}{6}[A+B,[A[A,B]]]$$

$$4Z_4=\frac{1}{6}[-B,[A,[A,B]]]$$

$$4Z_4=\frac{1}{6}[[A,[A,B]],B]$$

$$4Z_4=\frac{1}{6}[[A,-[B,A]],B]$$

$$4Z_4=\frac{1}{6}[[[B,A],A],B]$$

$$Z_4=\frac{1}{24}[[[B,A],A],B]$$

となり、20行目の結果と一致する。なお、以上の計算で用いた関係式は、

  • \([A,B]=-[B,A]\)
  • \([cA,dB]=cd[A,B]\)(ただし、c, dは実数)
  • \([A,B]+[A,C]=[A,B+C]\)

である。

【参考文献】

  1. 中原幹夫「量子物理学のための線形代数 =ベクトルから量子情報へ」(2016)培風館.
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神経科学を研究している博士学生。Rust, Python, C/C++, Unityを活用して、世界の様々な現象を分析・シミュレートしています。理系分野だけでなく、政治学や社会学も、もちろん分析対象です。

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