【置換積分の解法３】指数関数を置換する

積分したい式に指数関数が多く含まれている場合には、それを文字で置換すると計算が楽になる場合が多いです。

積分の対象となる変数を決めるdxの変換も簡単に計算できるため、困ったら $t=e^x$ という置換を行っておいても損にはなりません。

Index

$e^x$ に対する置換積分

$$e^x=t$$

とおきます。

$$\frac{dt}{dx}=e^x=t$$

より

$$dx=\frac{1}{t}\cdot dt$$

$e^x$ はそのまま $t$ に変換されます。

$$\int\frac{e^{2x}}{1-e^x}dx$$

を計算せよ。

$e^x=t$ とおくと

$$\int\frac{e^{2x}}{1-e^x}dx=\int\frac{t^2}{1-t}\cdot\frac{1}{t}\cdot dt$$

$$=\int\frac{t}{1-t}dt=\int\frac{1-(1-t)}{1-t}dt$$

$$=\int\left(\frac{1}{1-t}-1\right)dt=-\log|1-t|-t+C$$

$$=-\log|1-e^x|-e^x+C$$