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【置換積分の解法3】指数関数を置換する

置換積分の解法
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積分したい式に指数関数が多く含まれている場合には、それを文字で置換すると計算が楽になる場合が多いです。

積分の対象となる変数を決めるdxの変換も簡単に計算できるため、困ったら \(t=e^x\) という置換を行っておいても損にはなりません

\(e^x\) に対する置換積分

解法

$$e^x=t$$

とおきます。

dxの変換

$$\frac{dt}{dx}=e^x=t$$

より

$$dx=\frac{1}{t}\cdot dt$$

被積分関数の変換

\(e^x\) はそのまま \(t\) に変換されます。

例題

$$\int\frac{e^{2x}}{1-e^x}dx$$

を計算せよ。

\(e^x=t\) とおくと

$$\int\frac{e^{2x}}{1-e^x}dx=\int\frac{t^2}{1-t}\cdot\frac{1}{t}\cdot dt$$

$$=\int\frac{t}{1-t}dt=\int\frac{1-(1-t)}{1-t}dt$$

$$=\int\left(\frac{1}{1-t}-1\right)dt=-\log|1-t|-t+C$$

$$=-\log|1-e^x|-e^x+C$$

もっと知りたいこと、感想を教えてください!