【置換積分の解法１】三角関数を使って置換する

積分をする際に、式中に登場しない三角関数をあえて使って置換積分を行った方が計算が楽になるパターンを３つ紹介します。

三角関数を使うと計算が複雑になりそうですが、ここで紹介する式は、三平方の定理などを活用して単純化できることが特徴です。

三角関数を用いた置換積分

\(\sqrt{a^2-x^2}\quad(a>0)\) を含む積分

解法

$$x=a\sin\theta\quad\left(-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\right)$$

とおきます。

dxの変換

$$dx=a\cos\theta\cdot d\theta$$

被積分関数の変換

$$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}$$

$$=\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}=\sqrt{a^2\cos^2\theta}=a\cos\theta$$

\(\sqrt{x^2+a^2}\) あるいは \(\frac{1}{x^2+a^2}\quad(a>0)\) を含む積分

解法

$$x=a\tan\theta\quad\left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$$

とおきます。

dxの変換

$$dx=\frac{a}{\cos^2\theta}\cdot d\theta$$

被積分関数の変換

$$\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{a^2\tan^2\theta+a^2}$$

$$=\sqrt{a^2(1+\tan^2\theta)}=\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2\theta}}=\frac{a}{\cos\theta}$$

あるいは、

$$\frac{1}{x^2+a^2}=\frac{1}{a^2(1+\tan^2\theta)}=\frac{\cos^2\theta}{a^2}$$

\(\sqrt{x^2-a^2}\quad(a>0)\) を含む積分

解法

$$x=\frac{a}{\cos\theta}\quad\left(0\leq\theta\leq\pi,\theta\neq\frac{\pi}{2}\right)$$

とおきます。

dxの変換

$$dx=a\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}\cdot d\theta=a\frac{\tan\theta}{\cos\theta}\cdot d\theta$$

被積分関数の変換

$$\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{\frac{a^2}{\cos^2\theta}-a^2}$$

$$=\sqrt{a^2\left(\frac{1}{\cos^2\theta}-1\right)}=\sqrt{\frac{a^2(1-\cos^2\theta)}{\cos^2\theta}}$$

$$=\sqrt{\frac{a^2\sin^2\theta}{\cos^2\theta}}=\sqrt{a^2\tan^2\theta}=a\tan\theta$$

例題

$$\int\frac{2}{1+t^2}dt$$

を計算せよ。

\(t=\tan\theta\) とおくと、 \(dt=\frac{1}{\cos^2\theta}\cdot d\theta\) より

$$\int\frac{2}{1+t^2}dt=\int\frac{2}{1+\tan^2\theta}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}\cdot d\theta$$

$$=2\int\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} d\theta=2\int d\theta$$

$$=2\theta+C=2\tan^{-1}t+C$$

ただし、 \(C\) は任意の定数です。