三角関数の公式について、全10パターンを紹介します。これらをすべて暗記する必要はありません。なぜならば、公式はすべて加法定理から導出することができるからです。
この記事を読むことで、三角関数の複雑な公式を暗記する手間を大きく減らすことができます。
加法定理
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$
$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$
この６種類だけ暗記しておくことで、以降の公式をすべて導出できます。
これらの式は、図形を使って簡単に証明できます。
余角・補角・負角の公式
余角の公式
$$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta$$
$$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$$
$$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$$
補角の公式
$$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$$
$$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$$
$$\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta$$
負角の公式
$$\sin(-\theta)=-\sin\theta$$
$$\cos(-\theta)=\cos\theta$$
$$\tan(-\theta)=-\tan\theta$$
倍角・三倍角・半角の公式
倍角の公式
$$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$
$$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$$
$$\tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$$
三倍角の公式
$$\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta$$
$$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$
半角の公式
$$\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}$$
$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$$
$$\tan^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}$$
和積・積和の公式
和積の公式
$$\sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
$$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$
$$\cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$
$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$$
積和の公式
$$\sin x\cos y=\frac{1}{2}\{\sin(x+y)+\sin(x-y)\}$$
$$\sin x\sin y=-\frac{1}{2}\{\cos(x+y)-\cos(x-y)\}$$
$$\cos x\cos y=\frac{1}{2}\{\cos(x+y)+\cos(x-y)\}$$
sin,cosの合成公式
$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$$
ただし \(\alpha\) は
$$\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
をみたす。
このような合成公式は、加法定理の素直な変形として簡単に導出できます。
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