【全10パターン網羅】極限計算の解法一覧

極限の計算をパターンごとに分類し、それぞれの解法を解説しています。

計算の基本は、極限を代入として考えられるように式変形することであり、それに加えて、はさみうちの原理やロピタルの定理を理解していると、極限計算は簡単に行うことができます。

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極限計算のイメージ

$$\lim_{x\to a}f(x)$$

という極限は、 $x$ を $a$ に限りなく近づけた場合の $f(x)$ を求めるということを意味しています。しかし乱暴な言い方をしてしまえば、（実用上は） $x=a$ を代入することだと考えることができます。

とはいえ、その代入（のような）作業がうまく実行できない場合も少なくありません。よくある例としては、

というケースが挙げられます。これを解消するために、極限計算の対象となる式に対し、様々な式変形を行う必要があります。ここでは、その際に使える解法パターンを10通り紹介しています。

$$f(x)\to\frac{0}{0}$$

ここから最初の３パターンは、基本となる不定形です。

約分や有理化によって不定形を解消します。

$$f(x)\to\frac{\infty}{\infty}$$

分母の最高次数で分子・分母を割って不定形を解消します。

$$f(x)\to\infty-\infty$$

最高次の項で全体をくくって不定形を解消します。

$$\lim_{x\to a}g(x)< \lim_{x\to a}f(x)< \lim_{x\to a}h(x)$$

計算対象の関数よりも確実に小さい（大きい）関数の極限値から、計算対象の関数を求める必須テクニックです。