三角関数をラプラス変換した結果について解説し、その証明を行います。
sin, cosのラプラス変換がわかると、三角関数の定理を活用して、それぞれの2乗や位相のずれについての変換も簡単に導けます。また、sinh, coshなどの双曲線関数の変換も解説します。
この記事で扱っていない変換例と変換法則の一覧に関しては、以下の対応表を参照してください。
（前提）ラプラス変換の定義式
時間関数 \(f(t)\) をラプラス変換すると周波数関数 \(F(s)\) になるとします。
$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$
このことを \(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\) と書きます。
三角関数のラプラス変換
基本の三角関数（ \(\sin, \cos\) ）
関係式
$$\mathcal{L}[\sin\omega t]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\tag{A.1}$$
$$\mathcal{L}[\cos\omega t]=\frac{s}{s^2+\omega^2}\tag{A.2}$$
証明
部分積分を繰り返して関係式を導きます。
$$\mathcal{L}[\sin\omega t]=\int_0^\infty \sin\omega t\cdot e^{-st}dt$$
$$=\left[\sin\omega t\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty-\int_0^\infty \omega\cos\omega t\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}dt$$
$$=\frac{\omega}{s}\int_0^\infty \cos\omega t\cdot e^{-st}dt$$
$$=\frac{\omega}{s}\left(\left[\cos\omega t\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty-\int_0^\infty-\omega\sin\omega t\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}dt\right)$$
$$=\frac{\omega}{s}\left(\frac{1}{s}-\frac{\omega}{s}\int_0^\infty\sin\omega t\cdot e^{-st}dt\right)$$
$$=\frac{\omega}{s^2}(1-\omega\mathcal{L}[\sin\omega t])$$
より、
$$s^2\mathcal{L}[\sin\omega t]=\omega-\omega^2\mathcal{L}[\sin\omega t]$$
$$\mathcal{L}[\sin\omega t]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\tag{A.1}$$
同様に、
$$\mathcal{L}[\cos\omega t]=\int_0^\infty \cos\omega t\cdot e^{-st}dt$$
$$=\left[\cos\omega t\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty-\int_0^\infty -\omega\sin\omega t\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}dt$$
$$=\frac{1}{s}-\frac{\omega}{s}\int_0^\infty \sin\omega t\cdot e^{-st}dt$$
$$=\frac{1}{s}-\frac{\omega}{s}\left(\left[\sin\omega t\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty-\int_0^\infty\omega\cos\omega t\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}dt\right)$$
$$=\frac{1}{s}-\frac{\omega^2}{s^2}\int_0^\infty\cos\omega t\cdot e^{-st}dt$$
$$=\frac{1}{s^2}(s-\omega^2\mathcal{L}[\cos\omega t])$$
より、
$$s^2\mathcal{L}[\cos\omega t]=s-\omega^2\mathcal{L}[\cos\omega t]$$
$$\mathcal{L}[\cos\omega t]=\frac{s}{s^2+\omega^2}\tag{A.2}$$
三角関数の2乗（ \(\sin^2,\cos^2\) ）
関係式
$$\mathcal{L}[\sin^2\omega t]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\tag{B.1}$$
$$\mathcal{L}[\cos^2\omega t]=\frac{s}{s^2+\omega^2}\tag{B.2}$$
証明
半角の公式を使用します。
