【三角関数の公式】sin,cosの合成公式と、加法定理から導出する方法

$\sin$ と $\cos$ の和を１つの $\sin$ にまとめる、三角関数の合成公式を紹介し、加法定理から導出します。

合成公式は加法定理から派生したものと考えられ、$\sin$ と $\cos$ の関係が加法定理に帰着できるとき、それらをまとめることができます。

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公式

$a\neq 0, b\neq 0$ のとき

$$a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$$

として、 $\sin,\cos$ を合成することができます。ただし $\alpha$ は

$$\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

をみたす角度です。

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\tag{1}$$

加法定理自体の証明は以下の記事を参照してください。

加法定理 $(1)$ に注目します。

$$\sin(\theta+\alpha)=\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha$$

$$=\cos\alpha\cdot\sin\theta+\sin\alpha\cdot\cos\theta\tag{2}$$

より、 $\sin\theta, \cos\theta$ の係数がそれぞれ $\cos\alpha, \sin\alpha$ であれば、これらを合成することができます。

使い勝手をよくするために、これらの係数を三角関数を使わずに表現することを考えます。

角 $\alpha$ を持つ直角三角形の各辺の長さを、以下の図のように $a, b$ とすると、斜辺の長さは $\sqrt{a^2+b^2}$ です。よって

$$\sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\quad\cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

と書くことができ、これを式 $(2)$ に代入すると

$$\sin(\theta+\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta$$

から

$$\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)=a\sin\theta+b\cos\theta$$

が成り立ちます。よって、このような $\alpha$ を見つけることで $\sin,\cos$ を合成することができます。

この他の三角関数の公式や、それらを加法定理から導出する方法は、以下の記事を参照してください。