三角関数の倍角・三倍角・半角の公式を紹介し、それぞれを加法定理から導出します。
基本的な考え方として、 \(2\theta=\theta+\theta\) という変形を行うことで加法定理を使えるようにします。この導出テクニックを理解することで、暗記の手間を大きく減らすことができます。
公式
倍角の公式
$$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\tag{A.1}$$
$$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\tag{A.2}$$
$$(=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta)\tag{A.2′}$$
$$\tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag{A.3}$$
三倍角の公式
$$\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\tag{B.1}$$
$$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\tag{B.2}$$
半角の公式
$$\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}\tag{C.1}$$
$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}\tag{C.2}$$
$$\tan^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}\tag{C.3}$$
公式の導出
(前提)加法定理
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\tag{1}$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\tag{2}$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\tag{3}$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\tag{4}$$
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\tag{5}$$
$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\tag{6}$$
加法定理自体の証明は以下の記事を参照してください。

倍角の公式の導出
$$\sin 2\theta=\sin(\theta+\theta)$$
$$=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=2\sin\theta\cos\theta\tag{A.1}$$
\(\cos\) の公式には複数の表現があるため、順に導出します。
$$\cos 2\theta=\cos(\theta+\theta)$$
$$=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\tag{A.2}$$
ここで、 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より
$$\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)=2\cos^2\theta-1\tag{A.2′}$$
$$\cos^2\theta-\sin^2\theta=(1-\sin^2\theta)-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta\tag{A.2′}$$
と変形することもできます。
$$\tan 2\theta=\tan(\theta+\theta)$$
$$=\frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag{A.3}$$
三倍角の公式の導出
\(3\theta=\theta+2\theta\) 、 \(2\theta=\theta+\theta\) という分解を繰り返すため、倍角の公式の結果を利用します。
$$\sin 3\theta=\sin(\theta+2\theta)$$
$$=\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\theta$$
$$=\sin\theta(1-2\sin^2\theta)+\cos\theta(2\sin\theta\cos\theta)$$
$$=\sin\theta-3\sin^2\theta+2\sin\theta(1-\sin^2\theta)$$
$$=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\tag{B.1}$$
\(\cos\) の公式も同様に導出します。
$$\cos 3\theta=\cos(\theta+2\theta)$$
$$=\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\theta$$
$$=\cos\theta(2\cos^2\theta-1)-\sin\theta(2\sin\theta\cos\theta)$$
$$=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\cos\theta(1-\cos^2\theta)$$
$$=4\cos^3\theta-3\cos\theta\tag{B.2}$$
半角の公式の導出
倍角の公式を利用したら一瞬で導出できますが、記事のテーマに沿って、あえて加法定理から計算を始めてみます。
\(\alpha=\beta=\theta\) として \(\cos\) の加法定理を計算します。
$$\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta$$
$$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\tag{3′}$$
同様に、角度の差をとる加法定理も計算します。
$$\cos(\theta-\theta)=\cos\theta\cos\theta+\sin\theta\sin\theta$$
$$1=\cos^2\theta+\sin^2\theta\tag{4′}$$
三平方の定理と同様の結果が得られました。最初からこれを使っても問題ありません。
\((4′)-(3′)\) と辺々を引くと
$$1-\cos 2\theta=2\sin^2\theta$$
$$\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}\tag{C.1}$$
が導出できます。今度は \((4′)+(3′)\) と辺々を足すと
$$1+\cos 2\theta=2\cos^2\theta$$
$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}\tag{C.2}$$
が導かれます。最後に、
$$\tan^2\theta=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$$
より、 \((C.1), (C.2)\) の結果から
$$\tan^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}\tag{C.3}$$
となります。
三角関数の公式一覧/加法定理からの導出
この他の三角関数の公式や、それらを加法定理から導出する方法は、以下の記事を参照してください。
