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【三角関数の公式】倍角・三倍角・半角の公式と、加法定理から導出する方法

三角関数の公式一覧
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三角関数の倍角三倍角半角の公式を紹介し、それぞれを加法定理から導出します。

基本的な考え方として、 \(2\theta=\theta+\theta\) という変形を行うことで加法定理を使えるようにします。この導出テクニックを理解することで、暗記の手間を大きく減らすことができます

公式

倍角の公式

$$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\tag{A.1}$$

$$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\tag{A.2}$$

$$(=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta)\tag{A.2′}$$

$$\tan 2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag{A.3}$$

三倍角の公式

$$\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\tag{B.1}$$

$$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\tag{B.2}$$

半角の公式

$$\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}\tag{C.1}$$

$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}\tag{C.2}$$

$$\tan^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}\tag{C.3}$$

公式の導出

(前提)加法定理

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\tag{1}$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\tag{2}$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\tag{3}$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\tag{4}$$

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\tag{5}$$

$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\tag{6}$$

加法定理自体の証明は以下の記事を参照してください。

【三角関数の公式】加法定理とその図形的証明
sin, cos, tanの和・差の加法定理6種類を紹介し、それらを証明します。三角関数に関する公式は多くありますが、そのすべては加法定理から導出できます。つまり、加法定理さえ覚えておけば、その他の公式を暗記する必要は無いのです。

倍角の公式の導出

$$\sin 2\theta=\sin(\theta+\theta)$$

$$=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta=2\sin\theta\cos\theta\tag{A.1}$$

\(\cos\) の公式には複数の表現があるため、順に導出します。

$$\cos 2\theta=\cos(\theta+\theta)$$

$$=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\tag{A.2}$$

ここで、 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) より

$$\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos^2\theta-(1-\cos^2\theta)=2\cos^2\theta-1\tag{A.2′}$$

$$\cos^2\theta-\sin^2\theta=(1-\sin^2\theta)-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta\tag{A.2′}$$

と変形することもできます。

$$\tan 2\theta=\tan(\theta+\theta)$$

$$=\frac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\tag{A.3}$$

三倍角の公式の導出

\(3\theta=\theta+2\theta\) 、 \(2\theta=\theta+\theta\) という分解を繰り返すため、倍角の公式の結果を利用します。

$$\sin 3\theta=\sin(\theta+2\theta)$$

$$=\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\theta$$

$$=\sin\theta(1-2\sin^2\theta)+\cos\theta(2\sin\theta\cos\theta)$$

$$=\sin\theta-3\sin^2\theta+2\sin\theta(1-\sin^2\theta)$$

$$=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\tag{B.1}$$

\(\cos\) の公式も同様に導出します。

$$\cos 3\theta=\cos(\theta+2\theta)$$

$$=\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\theta$$

$$=\cos\theta(2\cos^2\theta-1)-\sin\theta(2\sin\theta\cos\theta)$$

$$=2\cos^3\theta-\cos\theta-2\cos\theta(1-\cos^2\theta)$$

$$=4\cos^3\theta-3\cos\theta\tag{B.2}$$

半角の公式の導出

倍角の公式を利用したら一瞬で導出できますが、記事のテーマに沿って、あえて加法定理から計算を始めてみます。

\(\alpha=\beta=\theta\) として \(\cos\) の加法定理を計算します。

$$\cos(\theta+\theta)=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta$$

$$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta\tag{3′}$$

同様に、角度の差をとる加法定理も計算します。

$$\cos(\theta-\theta)=\cos\theta\cos\theta+\sin\theta\sin\theta$$

$$1=\cos^2\theta+\sin^2\theta\tag{4′}$$

三平方の定理と同様の結果が得られました。最初からこれを使っても問題ありません。

\((4′)-(3′)\) と辺々を引くと

$$1-\cos 2\theta=2\sin^2\theta$$

$$\sin^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}\tag{C.1}$$

が導出できます。今度は \((4′)+(3′)\) と辺々を足すと

$$1+\cos 2\theta=2\cos^2\theta$$

$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}\tag{C.2}$$

が導かれます。最後に、

$$\tan^2\theta=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$$

より、 \((C.1), (C.2)\) の結果から

$$\tan^2\theta=\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}\tag{C.3}$$

となります。

三角関数の公式一覧/加法定理からの導出

この他の三角関数の公式や、それらを加法定理から導出する方法は、以下の記事を参照してください。

【全10パターン網羅】三角関数の公式と、加法定理から導く方法
三角関数の公式について、全10パターンを紹介します。これらをすべて暗記する必要はありません。なぜならば、公式はすべて加法定理から導出することができるからです。この記事を読むことで、三角関数の複雑な公式を暗記する手間を大きく減らすことができます。