三角関数の余角( \(90^\circ-\theta\) )、補角( \(180^\circ-\theta\) )、負角( \(-\theta\) )の公式を加法定理から導出します。
これらの公式は基本的なものですが、 \(\sin, \cos, \tan\) ごとに符号のルールが異なるため、正確に覚えるのは難しいです。この記事の内容にもとづき加法定理から考えることで、暗記の手間を大きく減らすことができます。
公式
余角の公式
$$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\tag{A.1}$$
$$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\tag{A.2}$$
$$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}\tag{A.3}$$
補角の公式
$$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\tag{B.1}$$
$$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\tag{B.2}$$
$$\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\tag{B.3}$$
負角の公式
$$\sin(-\theta)=-\sin\theta\tag{C.1}$$
$$\cos(-\theta)=\cos\theta\tag{C.2}$$
$$\tan(-\theta)=-\tan\theta\tag{C.3}$$
公式の導出
(前提)加法定理
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\tag{1}$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\tag{2}$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\tag{3}$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\tag{4}$$
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\tag{5}$$
$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\tag{6}$$
加法定理自体の証明は以下の記事を参照してください。

余角の公式の導出
$$\sin(90^\circ-\theta)=\sin 90^\circ\cos\theta-\cos 90^\circ\sin\theta=\cos\theta\tag{A.1}$$
$$\cos(90^\circ-\theta)=\cos 90^\circ\cos\theta+\sin 90^\circ\sin\theta=\sin\theta\tag{A.2}$$
\(\tan\) の余角の証明には少し工夫が必要です。 \(\lim_{\phi\to 90^\circ}\tan\phi=\infty\) となることを考慮し、加法定理 \((6)\) の極限を考えます。
$$\tan(90^\circ-\theta)=\lim_{\phi\to 90^\circ}\tan(\phi-\theta)$$
$$=\lim_{\phi\to 90^\circ}\frac{\tan\phi-\tan\theta}{1+\tan\phi\tan\theta}$$
$$=\lim_{\phi\to 90^\circ}\frac{1-\frac{\tan\theta}{\tan\phi}}{\frac{1}{\tan\phi}+\tan\theta}=\frac{1}{\tan\theta}\tag{A.3}$$
補角の公式の導出
$$\sin(180^\circ-\theta)=\sin 180^\circ\cos\theta-\cos 180^\circ\sin\theta=\sin\theta\tag{B.1}$$
$$\cos(180^\circ-\theta)=\cos 180^\circ\cos\theta+\sin 180^\circ\sin\theta=-\cos\theta\tag{B.2}$$
$$\tan(180^\circ-\theta)=\frac{\tan 180^\circ-\tan\theta}{1-\tan 180^\circ\tan\theta}=-\tan\theta\tag{B.3}$$
負角の公式の導出
$$\sin(-\theta)=\sin(0^\circ-\theta)$$
$$=\sin 0^\circ\cos\theta-\cos 0^\circ\sin\theta=-\sin\theta\tag{C.1}$$
$$\cos(-\theta)=\cos(0^\circ-\theta)$$
$$=\cos 0^\circ\cos\theta+\sin 0^\circ\sin\theta=\cos\theta\tag{C.2}$$
$$\tan(-\theta)=\tan(0^\circ-\theta)$$
$$=\frac{\tan 0^\circ-\tan\theta}{1-\tan 0^\circ\tan\theta}=-\tan\theta\tag{C.3}$$
三角関数の公式一覧/加法定理からの導出
この他の三角関数の公式や、それらを加法定理から導出する方法は、以下の記事を参照してください。

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