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【三角関数の公式】余角・補角・負角の公式と、加法定理から導出する方法

三角関数の公式一覧
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三角関数の余角( \(90^\circ-\theta\) )、補角( \(180^\circ-\theta\) )、負角( \(-\theta\) )の公式を加法定理から導出します。

これらの公式は基本的なものですが、 \(\sin, \cos, \tan\) ごとに符号のルールが異なるため、正確に覚えるのは難しいです。この記事の内容にもとづき加法定理から考えることで、暗記の手間を大きく減らすことができます

公式

余角の公式

$$\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\tag{A.1}$$

$$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\tag{A.2}$$

$$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}\tag{A.3}$$

補角の公式

$$\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta\tag{B.1}$$

$$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta\tag{B.2}$$

$$\tan(180^\circ-\theta)=-\tan\theta\tag{B.3}$$

負角の公式

$$\sin(-\theta)=-\sin\theta\tag{C.1}$$

$$\cos(-\theta)=\cos\theta\tag{C.2}$$

$$\tan(-\theta)=-\tan\theta\tag{C.3}$$

公式の導出

(前提)加法定理

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\tag{1}$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\tag{2}$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\tag{3}$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\tag{4}$$

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\tag{5}$$

$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\tag{6}$$

加法定理自体の証明は以下の記事を参照してください。

【三角関数の公式】加法定理とその図形的証明
sin, cos, tanの和・差の加法定理6種類を紹介し、それらを証明します。三角関数に関する公式は多くありますが、そのすべては加法定理から導出できます。つまり、加法定理さえ覚えておけば、その他の公式を暗記する必要は無いのです。

余角の公式の導出

$$\sin(90^\circ-\theta)=\sin 90^\circ\cos\theta-\cos 90^\circ\sin\theta=\cos\theta\tag{A.1}$$

$$\cos(90^\circ-\theta)=\cos 90^\circ\cos\theta+\sin 90^\circ\sin\theta=\sin\theta\tag{A.2}$$

\(\tan\) の余角の証明には少し工夫が必要です。 \(\lim_{\phi\to 90^\circ}\tan\phi=\infty\) となることを考慮し、加法定理 \((6)\) の極限を考えます。

$$\tan(90^\circ-\theta)=\lim_{\phi\to 90^\circ}\tan(\phi-\theta)$$

$$=\lim_{\phi\to 90^\circ}\frac{\tan\phi-\tan\theta}{1+\tan\phi\tan\theta}$$

$$=\lim_{\phi\to 90^\circ}\frac{1-\frac{\tan\theta}{\tan\phi}}{\frac{1}{\tan\phi}+\tan\theta}=\frac{1}{\tan\theta}\tag{A.3}$$

補角の公式の導出

$$\sin(180^\circ-\theta)=\sin 180^\circ\cos\theta-\cos 180^\circ\sin\theta=\sin\theta\tag{B.1}$$

$$\cos(180^\circ-\theta)=\cos 180^\circ\cos\theta+\sin 180^\circ\sin\theta=-\cos\theta\tag{B.2}$$

$$\tan(180^\circ-\theta)=\frac{\tan 180^\circ-\tan\theta}{1-\tan 180^\circ\tan\theta}=-\tan\theta\tag{B.3}$$

負角の公式の導出

$$\sin(-\theta)=\sin(0^\circ-\theta)$$

$$=\sin 0^\circ\cos\theta-\cos 0^\circ\sin\theta=-\sin\theta\tag{C.1}$$

$$\cos(-\theta)=\cos(0^\circ-\theta)$$

$$=\cos 0^\circ\cos\theta+\sin 0^\circ\sin\theta=\cos\theta\tag{C.2}$$

$$\tan(-\theta)=\tan(0^\circ-\theta)$$

$$=\frac{\tan 0^\circ-\tan\theta}{1-\tan 0^\circ\tan\theta}=-\tan\theta\tag{C.3}$$

三角関数の公式一覧/加法定理からの導出

この他の三角関数の公式や、それらを加法定理から導出する方法は、以下の記事を参照してください。

【全10パターン網羅】三角関数の公式と、加法定理から導く方法
三角関数の公式について、全10パターンを紹介します。これらをすべて暗記する必要はありません。なぜならば、公式はすべて加法定理から導出することができるからです。この記事を読むことで、三角関数の複雑な公式を暗記する手間を大きく減らすことができます。

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