【ラプラス変換の法則】合成積則（畳み込み）とその証明

ラプラス変換と畳み込み計算の関係を表現した、合成積則について解説・証明します。

線形性により、時間関数の足し算のラプラス変換は周波数関数の足し算になりますが、掛け算にはこのルールが成り立ちません。2つの時間関数 $f(x)$ と $g(x)$ の畳み込み計算をラプラス変換したとき、周波数関数はそれぞれの積 $F(s)G(s)$ の形をとります。

この記事で扱っていない変換例と変換法則の一覧に関しては、以下の対応表を参照してください。

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（前提）ラプラス変換の定義式

時間関数 $f(t)$ をラプラス変換すると周波数関数 $F(s)$ になるとします。

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$

このことを $\mathcal{L}[f(t)]=F(s)$ と書きます。

時間関数 $f(t), g(t)$ をそれぞれラプラス変換すると、周波数関数 $F(s), G(s)$ になるとき、

$$\mathcal{L}[(f*g)(t)]=F(s)G(s)\tag{1}$$

が成り立ちます。ここで $(f*g)(t)$ は $f, g$ の畳み込み積を意味し、以下の式で定義されます。

$$(f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau$$

証明においては、無条件に積分の順番を入れ替えることができるものとします。積分の順序を交換するための詳細な条件については、以下の記事を参照してください。

定義に沿って計算します。

$$\mathcal{L}[(f*g)(t)]=\int_0^\infty\left(\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau\right)e^{-st}dt$$

ここで、 $\tau\rightarrow t$ の順番の積分を、 $t\rightarrow\tau$ の順番に入れ替えます。現状

$$0\leq\tau< t,\quad 0\leq t< \infty$$

という積分区間なので、この領域を図示すると

となっています。これを $t$ から見た範囲として表現すると

$$\tau\leq t< \infty,\quad 0\leq \tau< \infty$$

と書くことができます。これに基づいて積分の順序を交換し、各積分に関係するもののみをまとめると

$$(与式)=\int_0^\infty\left(\int_\tau^\infty f(t-\tau)e^{-st}dt\right)g(\tau)d\tau$$

となります。ここで $u=t-\tau$ として $t$ を $u$ に置換すると

より、

$$(与式)=\int_0^\infty\left(\int_0^\infty f(u)e^{-s(u+\tau)}du\right)g(\tau)d\tau$$

$$=\int_0^\infty f(u)e^{-su}du\cdot\int_0^\infty g(\tau)e^{-s\tau}d\tau=F(s)G(s)\tag{1}$$

として変数 $u,\tau$ を分離することができ、公式が導出されます。