【ラプラス変換の法則】積分則とその証明

ラプラス変換の一覧
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ラプラス変換ラプラス逆変換における積分則を解説・証明します。

ラプラス変換をすることで計算で有利になるのは、微分を「 \(s\) を掛ける」、積分を「 \(s\) で割る」に置き換えられることが主な理由です。これにより、複雑な連続微分・連続積分を含む微分方程式を簡単に解けるようになります

この記事で扱っていない変換例と変換法則の一覧に関しては、以下の対応表を参照してください。

【全51パターン網羅】ラプラス変換表と証明の一覧
微分方程式の解法や制御工学などでよく使われる、ラプラス変換の対応表をまとめました。現在、31パターンの変換例と、20パターンの変換法則を記載しています。項目ごとの「証明」欄のリンクを参照することで、その変換が成り立つ理由を確認することができます。

(前提)ラプラス変換の定義式

時間関数 \(f(t)\) をラプラス変換すると周波数関数 \(F(s)\) になるとします。

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$

このことを \(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\) と書きます。

ラプラス変換の積分則

関係式

時間関数 \(f(t)\) または周波数関数 \(F(s)\) の変数を積分したとき、以下の関係式が成り立ちます。

$$\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau)d\tau\right]=\frac{F(s)}{s}\tag{1}$$

$$\mathcal{L}\left[\frac{1}{t}f(t)\right]=\int_s^\infty F(\sigma)d\sigma\tag{2}$$

これを積分則といいます。

証明

部分積分と、「定積分を微分する公式」を活用します。

部分積分の公式と、それを1から導出する方法
部分積分の公式を紹介し、それを証明します。筆者は長らく部分積分の公式を暗記するのに苦労していました(どのタイミングで被積分関数を微分・積分したらいいのか覚えられませんでした)が、導出できるようにすることで、この便利な公式を簡単に使えるようになりました。
定積分を微分する公式とその証明
関数の定積分を微分する、という計算の公式を紹介し、その証明を行います。積分区間の上下が微分する変数xに依存する関数である場合、公式はやや複雑ですが、一方のみがxに依存する場合は非常にシンプルになります。この公式を理解することで、積分と微分を相殺して、計算を楽に実行できるようになります。

$$\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau)d\tau\right]=\int_0^\infty\left(\int_0^t f(\tau)d\tau\right)e^{-st}dt$$

$$=\int_0^\infty\left(\int_0^t f(\tau)d\tau\right)\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)'dt$$

$$=\left[\left(\int_0^t f(\tau)d\tau\right)\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty-\int_0^\infty f(t)\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}dt$$

$$=\frac{1}{s}\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt=\frac{F(s)}{s}\tag{1}$$

周波数関数を積分した場合の関係式の証明においては、無条件に積分の順番を入れ替えることができるものとします。積分の順序を交換するための詳細な条件については、以下の記事を参照してください。

フビニの定理~重積分の計算について | 高校数学の美しい物語
重積分を計算する上で重要なフビニの定理を紹介します。

$$\int_s^\infty F(\sigma)d\sigma=\int_s^\infty\left(\int_0^\infty f(t)e^{-\sigma t}dt\right)d\sigma$$

$$=\int_0^\infty f(t)\left(\int_s^\infty e^{-\sigma t}d\sigma\right)dt=\int_0^\infty f(t)\left[-\frac{1}{t}e^{-\sigma t}d\sigma\right]_s^\infty dt$$

$$=\int_0^\infty f(t)\cdot\frac{1}{t}e^{-st}dt=\int_0^\infty \frac{1}{t}f(t)e^{-st}dt=\mathcal{L}\left[\frac{1}{t}f(t)\right]\tag{2}$$

例題

積分則を応用したラプラス変換例として

$$\mathcal{L}\left[\frac{\sin\omega t}{t}\right]=\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{s}\right)\tag{3}$$

を紹介します。ラプラス変換表から、

$$f(t)=\sin\omega t$$

のとき

$$F(s)=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$

です。この周波数関数を積分することを考えます。

$$\int_s^\infty F(\sigma)d\sigma=\int_s^\infty\frac{\omega}{\sigma^2+\omega^2}d\sigma$$

ここで \(\sigma=\omega\tan\theta\) とおくと、

  • 積分区間: \(\tan^{-1}\left(\frac{s}{\omega}\right)\leq\theta< \frac{\pi}{2}\)
  • \(d\sigma=\frac{\omega}{\cos^2\theta}d\theta\)

より、

$$(与式)=\int_{\tan^{-1}\left(\frac{s}{\omega}\right)}^\frac{\pi}{2}\frac{\omega}{\omega^2\tan^2\theta+\omega^2}\cdot\frac{\omega}{\cos^2\theta}d\theta$$

$$=\int_{\tan^{-1}\left(\frac{s}{\omega}\right)}^\frac{\pi}{2}\frac{\omega}{\omega^2(1+\tan^2\theta)}\cdot\frac{\omega}{\cos^2\theta}d\theta$$

$$=\int_{\tan^{-1}\left(\frac{s}{\omega}\right)}^\frac{\pi}{2}\cos^2\theta\cdot\frac{1}{\cos^2