ラプラス変換・ラプラス逆変換における積分則を解説・証明します。
ラプラス変換をすることで計算で有利になるのは、微分を「 \(s\) を掛ける」、積分を「 \(s\) で割る」に置き換えられることが主な理由です。これにより、複雑な連続微分・連続積分を含む微分方程式を簡単に解けるようになります。
この記事で扱っていない変換例と変換法則の一覧に関しては、以下の対応表を参照してください。

(前提)ラプラス変換の定義式
時間関数 \(f(t)\) をラプラス変換すると周波数関数 \(F(s)\) になるとします。
$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$
このことを \(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\) と書きます。
ラプラス変換の積分則
関係式
時間関数 \(f(t)\) または周波数関数 \(F(s)\) の変数を積分したとき、以下の関係式が成り立ちます。
$$\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau)d\tau\right]=\frac{F(s)}{s}\tag{1}$$
$$\mathcal{L}\left[\frac{1}{t}f(t)\right]=\int_s^\infty F(\sigma)d\sigma\tag{2}$$
これを積分則といいます。
証明
部分積分と、「定積分を微分する公式」を活用します。


$$\mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau)d\tau\right]=\int_0^\infty\left(\int_0^t f(\tau)d\tau\right)e^{-st}dt$$
$$=\int_0^\infty\left(\int_0^t f(\tau)d\tau\right)\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)’dt$$
$$=\left[\left(\int_0^t f(\tau)d\tau\right)\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^\infty-\int_0^\infty f(t)\cdot-\frac{1}{s}e^{-st}dt$$
$$=\frac{1}{s}\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt=\frac{F(s)}{s}\tag{1}$$
周波数関数を積分した場合の関係式の証明においては、無条件に積分の順番を入れ替えることができるものとします。積分の順序を交換するための詳細な条件については、以下の記事を参照してください。
