【ラプラス変換の法則】微分則とその証明

ラプラス変換・ラプラス逆変換における微分則を解説・証明します。

ラプラス変換をすることで計算で有利になるのは、微分を「 \(s\) を掛ける」、積分を「 \(s\) で割る」に置き換えられることが主な理由です。これにより、複雑な連続微分・連続積分を含む微分方程式を簡単に解けるようになります。

この記事で扱っていない変換例と変換法則の一覧に関しては、以下の対応表を参照してください。

【全51パターン網羅】ラプラス変換表と証明の一覧

微分方程式の解法や制御工学などでよく使われる、ラプラス変換の対応表をまとめました。現在、31パターンの変換例と、20パターンの変換法則を記載しています。項目ごとの「証明」欄のリンクを参照することで、その変換が成り立つ理由を確認することができます。

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2024.11.01

（前提）ラプラス変換の定義式

時間関数 \(f(t)\) をラプラス変換すると周波数関数 \(F(s)\) になるとします。

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$

このことを \(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\) と書きます。

ラプラス変換の微分則

関係式

時間関数 \(f(t)\) または周波数関数 \(F(s)\) の変数を微分したとき、以下の関係式が成り立ちます。

$$\mathcal{L}\left[\frac{d}{dt}f(t)\right]=sF(s)-f(0)\tag{1}$$

$$\mathcal{L}[-tf(t)]=\frac{d}{ds}F(s)\tag{2}$$

これを微分則といいます。

証明

部分積分を活用します。

部分積分の公式と、それを１から導出する方法

部分積分の公式を紹介し、それを証明します。筆者は長らく部分積分の公式を暗記するのに苦労していました（どのタイミングで被積分関数を微分・積分したらいいのか覚えられませんでした）が、導出できるようにすることで、この便利な公式を簡単に使えるようになりました。

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2024.10.25

$$\mathcal{L}\left[\frac{d}{dt}f(t)\right]=\int_0^\infty \frac{d}{dt}f(t)e^{-st}dt$$

$$=[f(t)e^{-st}]_0^\infty-\int_0^\infty f(t)\cdot(-s)e^{-st}dt$$

$$=-f(0)+s\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt=sF(s)-f(0)\tag{1}$$

周波数関数を微分した場合の関係式の証明においては、無条件に微分と積分の順番を入れ替えることができるものとします。微分と積分を交換するための詳細な条件については、以下の記事を参照してください。

微分と積分の交換定理とその証明・具体例2つ

ルベーグの収束定理(優収束定理)をもととした，微分と積分の交換定理について，その主張と証明・さらには具体例を挙げましょう...

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$$\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$

$$=\int_0^\infty \frac{d}{ds}(f(t)e^{-st})dt=\int_0^\infty -tf(t)e^{-st}dt=\mathcal{L}[-tf(t)]\tag{2}$$

例題

微分則を応用したラプラス変換例として

$$\mathcal{L}[t\sin\omega t]=\frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}\tag{3}$$

を紹介します。ラプラス変換表から、

$$f(t)=\sin\omega t$$

のとき

$$F(s)=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$

です。周波数関数を微分すると

$$\frac{d}{ds}F(s)=-\frac{2s\omega}{(s^2+\omega^2)^2}$$

であり、微分則から

$$\frac{d}{ds}F(s)=\mathcal{L}[-tf(t)]$$

$$-\frac{d}{ds}F(s)=\mathcal{L}[tf(t)]$$

より

$$\mathcal{L}[t\sin\omega t]=\frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}\tag{3}$$

が成り立ちます。