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【ラプラス変換の法則】推移則(平行移動)とその証明

ラプラス変換の一覧
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ラプラス変換ラプラス逆変換における推移則を解説・証明します。

推移則は、関数を平行移動したとき、変換後の関数が変化するルールを記述した法則です。基本的には、自然対数の底 \(e\) と平行移動が対応していると考えることができます。

この記事で扱っていない変換例と変換法則の一覧に関しては、以下の対応表を参照してください。

【全51パターン網羅】ラプラス変換表と証明の一覧
微分方程式の解法や制御工学などでよく使われる、ラプラス変換の対応表をまとめました。現在、31パターンの変換例と、20パターンの変換法則を記載しています。項目ごとの「証明」欄のリンクを参照することで、その変換が成り立つ理由を確認することができます。

(前提)ラプラス変換の定義式

時間関数 \(f(t)\) をラプラス変換すると周波数関数 \(F(s)\) になるとします。

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$

このことを \(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\) と書きます。

ラプラス変換の推移則

関係式

時間関数が

$$\phi(t)=\left\{\begin{array}{ll}f(t-a) & (t\geq a) \\ 0 & (t< a) \end{array}\right.$$

をみたすように、関数全体を \(a\) だけ平行移動したとき

$$\mathcal{L}[\phi(t)]=e^{-as}F(s)\tag{1}$$

が成り立ちます。

逆に周波数関数が \(a\) だけ平行移動するには

$$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)\tag{2}$$

という変換を行う必要があります。

このような法則をラプラス変換の推移則といいます。

証明

時間関数が

$$\phi(t)=\left\{\begin{array}{ll}f(t-a) & (t\geq a) \\ 0 & (t< a) \end{array}\right.$$

のとき、 \([0, a]\) の区間は常にゼロとなるため、ラプラス変換の積分に関して

$$\int_0^\infty \phi(t)e^{-st}dt=\int_a^\infty f(t-a)e^{-st}dt$$

が成り立ちます。ここで \(t=u+a\) とおくと

  • 積分区間: \(0\leq u< \infty\)
  • \(dt=du\)

より

$$\mathcal{L}[\phi(t)]=\int_0^\infty f(u)e^{-s(u+a)}du$$

$$=e^{-as}\int_0^\infty f(u)e^{-su}du=e^{-as}F(s)\tag{1}$$

となることがわかります。逆に、

$$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=\int_0^\infty e^{at}f(t)e^{-st}dt$$

$$\int_0^\infty f(t)e^{-(s-a)t}dt=F(s-a)\tag{2}$$

もっと知りたいこと、感想を教えてください!