ラプラス変換・ラプラス逆変換における推移則を解説・証明します。
推移則は、関数を平行移動したとき、変換後の関数が変化するルールを記述した法則です。基本的には、自然対数の底 \(e\) と平行移動が対応していると考えることができます。
この記事で扱っていない変換例と変換法則の一覧に関しては、以下の対応表を参照してください。

(前提)ラプラス変換の定義式
時間関数 \(f(t)\) をラプラス変換すると周波数関数 \(F(s)\) になるとします。
$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$
このことを \(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\) と書きます。
ラプラス変換の推移則
関係式
時間関数が
$$\phi(t)=\left\{\begin{array}{ll}f(t-a) & (t\geq a) \\ 0 & (t< a) \end{array}\right.$$
をみたすように、関数全体を \(a\) だけ平行移動したとき
$$\mathcal{L}[\phi(t)]=e^{-as}F(s)\tag{1}$$
が成り立ちます。
逆に周波数関数が \(a\) だけ平行移動するには
$$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=F(s-a)\tag{2}$$
という変換を行う必要があります。
このような法則をラプラス変換の推移則といいます。
証明
時間関数が
$$\phi(t)=\left\{\begin{array}{ll}f(t-a) & (t\geq a) \\ 0 & (t< a) \end{array}\right.$$
のとき、 \([0, a]\) の区間は常にゼロとなるため、ラプラス変換の積分に関して
$$\int_0^\infty \phi(t)e^{-st}dt=\int_a^\infty f(t-a)e^{-st}dt$$
が成り立ちます。ここで \(t=u+a\) とおくと
- 積分区間: \(0\leq u< \infty\)
- \(dt=du\)
より
$$\mathcal{L}[\phi(t)]=\int_0^\infty f(u)e^{-s(u+a)}du$$
$$=e^{-as}\int_0^\infty f(u)e^{-su}du=e^{-as}F(s)\tag{1}$$
となることがわかります。逆に、
$$\mathcal{L}[e^{at}f(t)]=\int_0^\infty e^{at}f(t)e^{-st}dt$$
$$\int_0^\infty f(t)e^{-(s-a)t}dt=F(s-a)\tag{2}$$
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