ラプラス変換・ラプラス逆変換における相似定理を解説・証明します。
相似定理は、関数の変数を定数倍したとき、変換後の関数が変化するルールを記述した定理です。そのため、制御工学の式変形で、ゲインやバネの係数が変化した場合などで重宝します。
この記事で扱っていない変換例と変換法則の一覧に関しては、以下の対応表を参照してください。
（前提）ラプラス変換の定義式
時間関数 \(f(t)\) をラプラス変換すると周波数関数 \(F(s)\) になるとします。
$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$
このことを \(\mathcal{L}[f(t)]=F(s)\) と書きます。
相似定理
関係式
時間関数 \(f(t)\) または周波数関数 \(F(s)\) の変数を定数（ \(a\) ）倍したとき、以下の関係式が成り立ちます。
$$\mathcal{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\tag{1}$$
$$\mathcal{L}\left[\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)\right]=F(as)\tag{2}$$
これを相似定理といいます。
証明
時間関数が \(f(at)\) のとき、 \(u=at\) とおくと
- 積分区間： \(0\leq u< \infty\)
- \(du=adt\)
より
$$\mathcal{L}[f(at)]=\int_0^\infty f(at)e^{-st}dt$$
$$=\int_0^\infty f(u)e^{-s\cdot\frac{u}{a}}\frac{1}{a}du=\frac{1}{a}\int_0^\infty f(u)e^{-\frac{s}{a}u}du=\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\tag{1}$$
が導かれます。
また、時間関数が \(\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)\) のとき、 \(u=\frac{t}{a}\) とおくと
- 積分区間： \(0\leq u< \infty\)
- \(adu=dt\)
より
$$\mathcal{L}\left[\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)\right]=\int_0^\infty \frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)e^{-st}dt$$
$$=\int_0^\infty \frac{1}{a}f(u)e^{-s\cdot au}\cdot adu=\int_0^\infty f(u)e^{-(as)u}du=F(as)\tag{2}$$
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