微分方程式の解法や制御工学などでよく使われる、ラプラス変換の対応表をまとめました。現在、31パターンの変換例と、20パターンの変換法則を記載しています。
項目ごとの「証明」欄のリンクを参照することで、その変換が成り立つ理由を確認することができます。
ラプラス変換の定義
ラプラス変換は時間の関数である \(f(t)\) を、周波数の関数である \(F(s)\) へと変換する処理です。この変換は以下の式で定義されます。
$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$$
\(F(s)\) を \(f(t)\) に変換するラプラス逆変換は以下の式で定義されます。
$$f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}F(s)e^{st}ds$$
また、 \(f(t)\) をラプラス変換することを \(\mathcal{L}[f(t)]\) 、 \(F(s)\) をラプラス逆変換することを \(\mathcal{L}^{-1}[F(s)]\) と書くことにします。
ラプラス変換の対応表
様々な形の時間関数 \(f(t)\) をラプラス変換した結果の周波数関数 \(F(s)\) について、全31パターンの対応関係を示します。
表中で、 \(a, \omega\) は定数、 \(n\) は非負整数、 \(x\) は非負数です。
| 変換ID | \(f(t)\) | \(F(s)=\mathcal{L}[f(t)]\) | 証明 |
|---|---|---|---|
| 0 | \(\delta(t)\) | 1 | 基本・線形性 |
| 1 | \(1\) | \(\frac{1}{s}\) | 変換（5）で \(n=0\) |
| 2 | \(u(t)=\left\{\begin{array}{ll}1 & (t\geq 0) \\ 0 & (t< 0) \end{array}\right.\) | \(\frac{1}{s}\) | \(t\geq 0\) では \(f(t)=1\) と同じ |
| 3 | \(a\) | \(\frac{a}{s}\) | 変換（1）に法則（ii）を適用 |
| 4 | \(t\) | \(\frac{1}{s^2}\) | 変換（5）で \(n=1\) |
| 5 | \(t^n\) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) | 変換（6）を整数 \(n\) でのみ考える |
| 6 | \(t^x\) | \(\frac{1}{s^{x+1}}\Gamma(x+1)\) | ガンマ関数 |
| 7 | \(e^{at}\) | \(\frac{1}{s-a}\) | 変換（1）に法則（viii）を適用 |
| 8 | \(te^{at}\) | \(\frac{1}{(s-a)^2}\) | 変換（4）に法則（viii）を適用 |
| 9 | \(t^ne^{at}\) | \(\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\) | 変換（5）に法則（viii）を適用 |
| 10 | \(\frac{1}{\sqrt{\pi t}}\) | \(\frac{1}{\sqrt{s}}\) | ガンマ関数の例題参照 |
| 11 | \(\sqrt{\frac{4t}{\pi}}\) | \(\frac{1}{s^{\frac{3}{2}}}\) | ガンマ関数の例題参照 |
| 12 | \(\sin\omega t\) | \(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\) | 三角関数 |
| 13 | \(\cos\omega t\) | \(\frac{s}{s^2+\omega^2}\) | 三角関数 |
| 14 | \(e^{at}\sin\omega t\) | \(\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}\) | 変換（12）に法則（viii）を適用 |
| 15 | \(e^{at}\cos\omega t\) | \(\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}\) | 変換（13）に法則（viii）を適用 |
| 16 | \(t\sin\omega t\) | \(\frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}\) | 微分則の例題参照 |
| 17 | \(t\cos\omega t\) | \(\frac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}\) | 微分則の例題と同様 |
| 18 | \(te^{at}\sin\omega t\) | \(\frac{2\omega(s-a)}{\{(s-a)^2+\omega^2\}^2}\) | 変換（16）に法則（viii）を適用 |
| 19 | \(te^{at}\cos\omega t\) | \(\frac{(s-a)^2-\omega^2}{\{(s-a)^2+\omega^2\}^2}\) | 変換（17）に法則（viii）を適用 |
| 20 | \(\frac{\sin\omega t}{t}\) | \(\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{s}\right)\) | 積分則の例題参照 |
| 21 | \(\sin^2\omega t\) | \(\frac{2\omega^2}{s(s^2+4\omega^2)}\) | 三角関数 |
| 22 | \(\cos^2\omega t\) | \(\frac{s^2+2\omega^2}{s(s^2+4\omega^2)}\) | 三角関数 |
| 23 | \(\sin(\omega t+\theta)\) | \(\frac{\omega\cos\theta+s\sin\theta}{s^2+\omega^2}\) | 三角関数 |
| 24 | \(\cos(\omega t+\theta)\) | \(\frac{s\cos\theta-\omega\sin\theta}{s^2+\omega^2}\) | 三角関数 |
| 25 | \(e^{at}\sin(\omega t+\theta)\) | \(\frac{\omega\cos\theta+(s-a)\sin\theta}{(s-a)^2+\omega^2}\) | 変換（23）に法則（viii）を適用 |
| 26 | \(e^{at}\cos(\omega t+\theta)\) | \(\frac{(s-a)\cos\theta-\omega\sin\theta}{(s-a)^2+\omega^2}\) | 変換（24）に法則（viii）を適用 |
| 27 | \(\sinh\omega t\) | \(\frac{\omega}{s^2-\omega^2}\) | 三角関数 |
| 28 | \(\cosh\omega t\) | \(\frac{s}{s^2-\omega^2}\) | 三角関数 |
| 29 | \(\sinh^2\omega t\) | \(\frac{2\omega^2}{s(s^2-4\omega^2)}\) | 三角関数 |
| 30 | \(\cosh^2\omega t\) | \(\frac{s^2-2\omega^2}{s(s^2-4\omega^2)}\) | 三角関数 |
ラプラス変換の法則の一覧表
\(F(s)=\mathcal{L}[f(t)]\) の変換が成り立っている状態で、時間関数 \(f(t)\) に様々な操作を加えます。このときに周波数関数 \(F(s)\) が変化する法則について、20パターンの対応関係をまとめました。
表中で、 \(a,b,a_n\) は定数です。
| 法則ID | 時間関数 | 周波数関数 | 証明 |
|---|---|---|---|
| i | \(-f(t)\) | \(-F(s)\) | 基本・線形性 |
| ii | \(af(t)\) | \(aF(s)\) | 基本・線形性 |
| iii | \(af(t)+bg(t)\) | \(aF(s)+bG(s)\) | 基本・線形性 |
| iv | \(\sum_na_nf_n(t)\) | \(\sum_na_nF_n(s)\) | 基本・線形性 |
| v | \(f(at)\) | \(\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\) | 相似定理 |
| vi | \(\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)\) | \(F(as)\) | 相似定理 |
| vii | \(\left\{\begin{array}{ll}f(t-a) & (t\geq a) \\ 0 & (t< a) \end{array}\right.\) | \(e^{-as}F(s)\) | 推移則 |
| viii | \(e^{at}f(t)\) | \(F(s-a)\) | 推移則 |
| ix | \(\frac{df(t)}{dt}\) | \(sF(s)-f(0)\) | 微分則 |
| x | \(\frac{d^2f(t)}{dt^2}\) | \(s^2F(s)-sf(0)-f'(0)\) | 法則（ix）の連続適用 |
| xi | \(\frac{d^nf(t)}{dt^n}\) | \(\begin{eqnarray}s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots \\ -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)\end{eqnarray}\) | 法則（ix）の連続適用 |
| xii | \(-tf(t)\) | \(\frac{dF(s)}{ds}\) | 微分則 |
| xiii | \((-t)^nf(t)\) | \(F^{(n)}(s)\) | 法則（xii）の連続適用 |
| xiv | \(\int_0^tf(\tau)d\tau\) | \(\frac{F(s)}{s}\) | 積分則 |
| xv | \(\int_0^t\cdots\int_0^\tau f(\tau)d\tau^n\) | \(\frac{F(s)}{s^n}\) | 法則（xiv）の連続適用 |
| xvi | \(\frac{1}{t}f(t)\) | \(\int_s^\infty F(\sigma)d\sigma\) | 積分則 |
| xvii | \(\frac{1}{t^n}f(t)\) | \(\int_s^\infty\cdots\int_\sigma^\infty F(\sigma)d\sigma^n\) | 法則（xvi）の連続適用 |
| xviii | \(\int_0^tf(t-\tau)g(\tau)d\tau\) | \(F(s)G(s)\) | 合成積則 |
| xix | \(\lim_{t\to 0}f(t)\) | \(\lim_{s\to\infty}sF(s)\) | 初期値の定理 |
| xx | \(\lim_{t\to\infty}f(t)\) | \(\lim_{s\to 0}sF(s)\) | 最終値の定理 |
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