sin, cos, tanの和・差の加法定理6種類を紹介し、それらを証明します。
三角関数に関する公式は多くありますが、そのすべては加法定理から導出できます。つまり、加法定理さえ覚えておけば、その他の公式を暗記する必要は無いのです。
加法定理の一覧
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\tag{1}$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\tag{2}$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\tag{3}$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\tag{4}$$
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\tag{5}$$
$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\tag{6}$$
加法定理の証明
図形的な証明
証明のスタート地点として、上記の6種類の定理から1つを選び、図形を用いて定理を証明します。
このとき最も証明しやすいのは、なんと式 \((4)\) です。
単位円と、その円周上にある点A, Bを考えます。このとき、
$$\angle AOO’=\alpha,\quad\angle BOO’=\beta$$
とします。余弦定理より、
$$AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cos(\alpha-\beta)$$
$$=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cos(\alpha-\beta)=2\{1-\cos(\alpha-\beta)\}\tag{7}$$
が成り立ちます。一方、三平方の定理を使用してこれを図形的に表現すると、
$$AB^2=(\sin\alpha-\sin\beta)^2+(\cos\beta-\cos\alpha)^2$$
$$=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\beta+\cos^2\beta-2\sin\alpha\sin\beta-2\cos\alpha\cos\beta$$
$$=1+1-2\sin\alpha\sin\beta-2\cos\alpha\cos\beta$$
$$=2(1-\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta)\tag{8}$$
と書けます。式 \((7), (8)\) を合わせると
$$2\{1-\cos(\alpha-\beta)\}=2(1-\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta)$$
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\tag{4}$$
が導かれます。
その他の加法定理の証明
その他の定理も図形的に証明することができますが、ここでは簡単のために式変形で証明します。
cosの関係式
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\{\alpha-(-\beta)\}$$
$$=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\tag{3}$$
sinの関係式
$$\sin(\alpha+\beta)=\cos\left\{\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right\}=\cos\left\{(\frac{\pi}{2}-\alpha)-\beta\right\}$$
$$=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta$$
$$=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\tag{1}$$
\(-\beta=+(-\beta)\) と置き換えると、
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\{\alpha+(-\beta)\}$$
$$=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\tag{2}$$
tanの関係式
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$$
$$=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$$
分子・分母を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ると
$$(与式)=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$$
$$=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\tag{5}$$
同様に
$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}$$
$$\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$$
$$=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\tag{6}$$
三角関数の公式一覧/加法定理からの導出
この他の三角関数の公式や、それらを加法定理から導出する方法は、以下の記事を参照してください。
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