【極限計算の解法8】区分求積法

極限計算の解法
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計算したい極限が区分求積法の形に一致している場合、計算式を積分に変換することができます。

ここでは区分求積と積分が一致する理由図を用いて解説し、それが応用できる例題の解法を示します。

区分求積法

次のような極限計算は積分と等価になるため、相互に変換できます。

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1f(x)dx$$

これらの関係を図を用いて説明します。

関係式の右辺の積分では、関数 \(f(x)\) の区間 \([0, 1]\) での面積を計算しています。

一方、左・中辺の総和は図のような長方形の面積の和を計算しています。この長方形は関数にハマるような形状をしており、個数を無限に増やすことによって、 \(f(x)\) の下部の領域と完全に一致します。

このように積分(面積)を長方形に分割して極限計算することを、区分求積法といいます。

例題

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2nk-k^2}}$$

を計算せよ。

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2nk-k^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\frac{k}{n}-\left(\frac{k}{n}\right)^2}}$$

$$=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}dx=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}}dx$$

\(x-1=\sin\theta\) とおいて積分区間を \(-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq 0\) とすると \(dx=cos\theta\cdot d\theta\)

$$(与式)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^0\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}\cdot\cos\theta d\theta$$

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^0\frac{1}{\sqrt{cos^2\theta}}\cdot\cos\theta d\theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^0d\theta=[\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^0=\frac{\pi}{2}$$

極限計算の解法一覧

その他の極限計算の解法は、以下の記事を参照してください。

【全10パターン網羅】極限計算の解法一覧
極限の計算をパターンごとに分類し、それぞれの解法を解説しています。計算の基本は、極限を代入として考えられるように式変形することであり、それに加えて、はさみうちの原理やロピタルの定理を理解していると、極限計算は簡単に行うことができます。

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