極限が0/0の形になり、式に三角関数を含むケースの解法について解説します。
三角関数の極限の公式を覚えておき、式変形でその形に持ち込むことを目指します。
(本記事中では、 \(\theta\) は弧度法で表されているものとします)
解法
$$\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\tag{1}$$
$$\lim_{\theta\to 0}\frac{\tan\theta}{\theta}=1\tag{2}$$
のいずれかの形に帰着させる。
覚えておくと便利
公式
以下の公式を覚えておくと、計算が楽になる場合があります。
$$\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin a\theta}{b\theta}=\frac{a}{b}\quad(ab\neq 0)\tag{3}$$
$$\lim_{\theta\to 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}=\frac{1}{2}\tag{4}$$
$$\lim_{\theta\to\infty}\theta\sin\frac{a}{\theta}=a\tag{5}$$
$$\lim_{\theta\to 0}\theta\sin\frac{a}{\theta}=0\tag{6}$$
公式の証明
$$\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin a\theta}{b\theta}=\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin a\theta}{a\theta}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}\tag{3}$$
$$\lim_{\theta\to 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}=\lim_{\theta\to 0}\frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{\theta^2(1+\cos\theta)}=\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin^2\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)}$$
$$=\lim_{\theta\to 0}(\frac{\sin\theta}{\theta})^2\cdot\frac{1}{1+\cos\theta}=1^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\tag{4}$$
\(t=\frac{1}{\theta}\) とおくと
$$\lim_{\theta\to\infty}\theta\sin\frac{a}{\theta}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin at}{t}=a\tag{5}$$
また、 \(0\leq|\sin\frac{a}{\theta}|\leq 1\) より \(0\leq|\theta\sin\frac{a}{\theta}|\leq|\theta|\) なので、はさみうちの原理から
$$\lim_{\theta\to 0}\theta\sin\frac{a}{\theta}=0\tag{6}$$
例題
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin\frac{x}{\pi})}{\pi x}$$
を計算せよ。
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin\frac{x}{\pi})}{\pi x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin\frac{x}{\pi})}{\sin\frac{x}{\pi}}\cdot\frac{\sin\frac{x}{\pi}}{\frac{x}{\pi}}\cdot\frac{1}{\pi^2}$$
ここで、 \(x\to 0\) のとき \(\frac{x}{\pi}\to 0\) かつ \(\sin\frac{x}{\pi}\to 0\) より
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(\sin\frac{x}{\pi})}{\sin\frac{x}{\pi}}\cdot\frac{\sin\frac{x}{\pi}}{\frac{x}{\pi}}\cdot\frac{1}{\pi^2}=1\cdot 1\cdot\frac{1}{\pi^2}=\frac{1}{\pi^2}$$
極限計算の解法一覧
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