【極限計算の解法３】∞-∞の不定形

極限を考えたときに、単純に計算すると∞どうしの足し引きになるケースの解法について解説します。

項をまとめたり、分数の形に持ち込んで不定形を解消する方法は、極限の計算においては基本的なテクニックです。

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解法

$$\lim_{x\to-\infty}(x^2+x\sqrt{x^2-2})$$

を計算せよ。

$x=-t$ とおくと、 $x\to-\infty$ のとき $t\to\infty$ より

$$\lim_{x\to-\infty}(x^2+x\sqrt{x^2-2})=\lim_{t\to\infty}(t^2-t\sqrt{t^2-2})$$

$$=\lim_{t\to\infty}t(t-\sqrt{t^2-2})=\lim_{t\to\infty}\frac{t(t-\sqrt{t^2-2})(t+\sqrt{t^2-2})}{t+\sqrt{t^2-2}}$$

$$=\lim_{t\to\infty}\frac{t\{t^2-(t^2-2)\}}{t+\sqrt{t^2-2}}=\lim_{t\to\infty}\frac{2t}{t+\sqrt{t^2-2}}$$

$$=\lim_{t\to\infty}\frac{2}{1+\sqrt{1-\frac{2}{t^2}}}=\frac{2}{1+\sqrt{1-0}}=1$$

その他の極限計算の解法は、以下の記事を参照してください。