【極限計算の解法２】∞/∞の不定形

分数の極限を考えたときに、単純に計算すると分子・分母ともに∞になるケースの解法について解説します。

0/0のパターンと同様、不定形の極限の基本となる形なので、こちらも確実に理解しておきたい計算法です。

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解法

分母の最高次の項で分子・分母を割る。

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2-2}+1}{2x}$$

を計算せよ。

$x=-t$ とおくと、 $x\to-\infty$ のとき $t\to\infty$ より

$$\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2-2}+1}{2x}=-\lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt{t^2-2}+1}{2t}$$

$$=-\lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{2}{t^2}}+\frac{1}{t}}{2}=-\frac{\sqrt{1-0}+0}{2}=-\frac{1}{2}$$

その他の極限計算の解法は、以下の記事を参照してください。